1樓：Vino
這個學期剛學了矩陣理論，說一下個人的理解，僅供參考。
範數的引入是有內在邏輯的，是從：
到 到 這個邏輯走的
絕對值非常好理解，表達了數到數的距離，而且對於乙個確定的數，可以定義的距離也只有這一種概念。
接下來到了向量（一維陣列），很自然的，我們在高中數學中就引入了向量長度的概念，而這種長度定義是基於人類熟悉的歐氏空間的，類似於空間中兩點的距離。既然向量中包含的是一組數，我們能不能拋去這種想當然的長度定義，去尋找同樣可以在某種意義上表徵向量「大小」的量呢？答案是肯定的，比如陣列中各個元素的絕對值之和，可以定義為1-範數；陣列中絕對值最大的元素，定義為 -範數，等等。
而之前的向量長度則可定義為2-範數。這樣定義下，可以很容易看出範數的「大小」量度作用：如果有任意乙個範數為0，則其他範數一定為0，且向量為0向量。
某種程度上可以充當單個數中的『絕對值』。
同理，到了矩陣這裡，變成了2維陣列，那我們可以由向量中範數的定義繼續引申，然後新增一些只在矩陣中有意義的範數。對於從向量中引申出來的，稱之為誘導範數，誘導即是引申的意思。列模和最大者稱為1-範數，行模和最大者稱為-範數，等等。
同樣的，這裡的範數有度量矩陣「大小」的作用：如果有任意乙個範數為0，則其他範數一定為0，且矩陣為0矩陣。某種程度上可以充當單個數中的『絕對值』。
舉個形象的例子：對於一組長方體，我可以定義稜長範數為最長的稜的長度，體積範數為體積，面範數為面積最大的面的面積。這樣我可以通過某種範數去比較不同長方體在某種意義上的大小，而且很容易知道如果有任意乙個範數為0，則其他範數一定為0
2樓：microball
矩陣的范有好幾種，最常用的是 ，也就是線性變換 A 把單位球面上的向量集合 拉伸到最遠的值。
工程上，考慮 實矩陣
。令 ，也就是特徵值中絕對值最大的那個。可以證明注1 : 因為 是個對稱矩陣，所有特徵值都是非負實數。因此 也是非負實數。
注2 : 若 本身就是對稱矩陣 (例如物理中的 stress tensor，moment sensor，diffusion tensor 或統計中的 covariance matrix 等等)，則 ，矩陣的範直接等於最大特徵值。
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