1樓：jRONI
如何通俗解釋譜分解？
譜分解有哪幾種方法？
譜理論是好大一塊。。。。可以考慮先學習一點運算元代數，起碼了解一點C*代數和Gelfand表示，運算元代數自己就是有譜集的，而運算元譜集和Gelfand表示的值域是相同的。我所了解的，前面的projection-valued measure可以再積分，積出來的還是運算元，叫做operator-valued integration，還有所謂的functional calculus, Hilbert space direct sum ...
無界運算元裡面可以用Cayley變換（本人搜Cayley變換見到了此問題，班門弄斧了）。。。
2樓：很好混
不認為你要理解譜分解就得了解運算元代數，恰恰相反為了理解運算元代數可以反過來通過矩陣和傅利葉變換來增進直觀。正規運算元/矩陣之所以可以譜分解是因為他生成的C*子代數可交換，說人話就是他本身的定義而已。正規矩陣酉相似對角型就是譜分解，傅利葉級數展開也是譜分解，就是分解成他們的特徵/特徵向量的疊加
3樓：Yuhang Liu
很慚愧我泛函學得不怎麼樣，沒法像dhchen那樣做深入淺出的分析。對我來說，譜分解就是有限維線性代數中「復正規矩陣都可以酉對角化」這個結論的無窮維推廣；在無窮維Hilbert空間中，對角矩陣的類似物就是乘法運算元（把每乙個函式乘以乙個固定的函式f給出的運算元），那麼譜分解定理可以表述為：對於Hilbert space H上的normal operator A（我實在不喜歡正常運算元這個翻譯。。
），存在某個緊Hausdorff拓撲空間X (我不記得這個X是不是就是A的spectrum)，以及unitary equivalence , 乘法運算元 for some ,使得 .
這是我本科的泛函老師給出的一種比較簡單的解釋，實際上就是說無窮維的normal operator也是酉等價於「無窮維對角矩陣」（也就是乘法運算元）的，只是你要把空間換一下。當然也可以基於譜測度或者運算元代數去理解，像dhchen解釋的那樣，我不怎麼懂泛函就不多說了。
4樓：
如果把矩陣理解為線性變換，譜分解將矩陣分解為以特徵向量為列的矩陣和含有特徵值的對角矩陣。特徵向量表示了此線性變換的主要變換方向，而特徵值表示對應特徵向量的重要性。
譜分解在多元統計中也有重要應用，可了解主成分分析，所謂的PCA。
5樓：dhchen
1:有界的正規運算元
設 是希爾伯特空間上的有界線性運算元，它可以生成乙個交換的 運算元代數 ，而且它的極大理想可以和 構成的對應，因此我們可以有乙個從 到 的Gelfand map ，而且這個對映是 代數同構的，也就是說，反過來，我們隨便給乙個連續函式 ，那麼 是乙個有界線性運算元，特別的，我們可以有 , , 假設 ，也就是說譜剛剛好是有限個點譜, 如果是乙個矩陣，那麼它的譜肯定是點譜。那麼如果這個時候我們考慮函式 ，也就是每乙個點上的示性函式，在這個離散的情況下，這個函式是連續函式，所以我們可以構造 ,不難證明 是正交投影運算元，而且
.發現核心問題了嗎？對於一般的 ,示性函式不是連續函式，也就是說Gelfand map沒用了，可是投影運算元是對應示性函式的，事實上設是投影運算元，那麼 ,如果它對應乙個 的函式 ，那麼 ,所以在每個點這個函式只能是0或者1.
為了處理一般的運算元，我們需要引入 -運算元代數 ，本質上是 在乙個弱拓撲下的閉包，
最大的優點是可以讓 可以覆蓋示性函式從而得到
（這裡也從離散和變為一般的積分）
「一般的對稱運算元「
首先根據上面的結論，對於任何unitary運算元 ,因為它的譜肯定在乙個圓環上，我們可以找到乙個譜分解
，然後對於任何無界的對稱運算元 ，Cayley 變換
是乙個unitary運算元，也就是說
,如我們引入定義 ，那麼變換可以把乙個圓環拉成實數軸，這個時候
,如果我們定義運算元
，可以證明 ，這裡主要需要一些Cayley變換和對稱運算元的一些性質。
這種「通俗易通」地學習是容易的，但是卻沒啥價值，我這裡引用一下某個數學家的話：乙個東西如果你自己不能用，舉不出例子，那麼你就壓根沒學會。
如何用微積分解釋芝諾悖論？
抑揚 Fun 先聊Zeno最有名的阿喀琉斯追烏龜的悖論 Zeno悖論所說的其實是這樣的乙個事實 在某一時間點之前，阿喀琉斯永遠不可能追上烏龜。之所以會給人有悖論的感覺，就是表述過程中永遠這兩個字。一般意義下的永遠不能被理解為任給一時刻，均不能。也就是從起跑開始到追趕上這一時刻經歷的總時間無窮大。那麼...
如何在概念上詳細劃分「解釋」和「描述」之間的區別？
描述就是通過語言去說某個事項，就是一種客觀的表達。比如客觀世界發生的某件事情，我說這裡有一杯熱水過一會變涼的。這是描述。而解釋就是是用某個理論去說明某個事項發生的原因，比如熱水變涼是熱力學第二定律的結果。 林彬懋 這個概念上的區別就是從 大規模的現象 中做 概略性的分劃 試以我所建構的 象學 做個解...
能通俗解釋原子躍遷譜線頻率和諧振腔諧振頻率還有雷射器的振盪頻率區別和關聯嗎？
首先，我的回答都是基於雷射領域。在雷射領域，沒有雷射器的振盪頻率這種說法，只有雷射器的輸出頻率，這個是指雷射器的調製頻率，對於諧振腔雷射器來說，就是通過調Q，使雷射器的輸出從準連續變成脈衝輸出，雷射器的頻率就是指的脈衝頻率。原子躍遷譜線頻率，基本上也不這樣說，首先，是原子最外層的電子躍遷，從激發態躍...