1樓：三川啦啦啦
一、基本定理
有這樣乙個現象：若則
省略號表示我們不關心的部分。
二、階梯化
而化一般矩陣為階梯矩陣，就是基於上面這個簡單的事實。試想由 和 兩行向量構成的 階矩陣，通過上的方式，就化成了階梯矩陣：
事實上，我們不僅可以消去第乙個分量，只要 ，總可以消去 。
好，我在上面的基礎上，再新增乙個行向量，構成 階矩陣，如何化階梯矩陣？這個我就不用寫了吧。
三、其他情況
問：如果 怎麼辦？
答：換行。
問：如果所有行向量第乙個分量都是零怎麼辦？
答：那更好。
問：為什麼？
答：因為第一列已經化好了…
2樓：
行階梯矩陣是「上三角矩陣(upper triangular matrix)」這個概念的拓展物。
上三角矩陣知道吧？位於主對角線下方的元素全部都是0，非零元只在主對角線及其上方出現：
.對於滿足一定條件的方陣 ，我們總可以通過初等行變換把他變成上三角矩陣，變換過程即Gauss消元法：
1、第2~n行
分別減去第一行
的若干倍，把他們的第一列元素
消成0。這樣第一列除開 外全是0。
2、第3~n行
分別減去第二行
的若干倍，把他們的第二列元素
也消成0。這樣第二列除開前兩行元素 外全是0。此時第一列因為都是0在加減，除 外依然全保持0不動。
(PS: 這裡 沒去減 ，從而 沒有被消成0。要消也可以，不過本演算法只打算消成上三角矩陣，而非對角陣，所以不需要這麼做。
)3、把第4~n行分別減去行3的若干倍，從而第三列除開前三個元素外全是0。
……n-1、把
減去的若干倍，從而第n-1列除開前n-1個元素外全是0。
n、啥都不用幹了，第n列除開前n個元素就本來也沒東西了。
這樣我們就把任意可逆矩陣化成了上三角矩陣。 不過上述演算法裡有乙個問題：第一步減 若干倍消0的時候， 必須非零。
同樣地，完成第一步之後, 第二步裡的 也得非0，否則消不了第二列。依此類推，在做第k步( )的時候 必須非零。這也是為什麼我們的演算法只能對「滿足一定條件」的矩陣執行。
現在我們來修復這個bug，讓演算法在第k步 時仍然可以繼續執行：
事實上，如果此時 , 但 裡有非0項，那麼只要交換兩行，把那一行換到第k行的位置就可以繼續做第k步了。
如果 ，那不用消了，已經全是0了，符合我們的要求了。直接跳過第k步進入第k+1步即可。( )
(ps: 如果k+1列下方依然是全0，那就繼續跳，一直跳到有非0項的步。如果跳到最後一步就結束演算法。)
按照修正後的演算法，我們就能把任意的方陣用初等行變換轉化成上三角矩陣了。
但上面的演算法還可以再進兩步：
一是這個演算法對不方的矩陣 也可以用，A將被變換成乙個上三角矩陣U再多一塊0矩陣的樣子:
[U 0] 或者 .
二是 這步修正，上面是直接跳過第k步進入第k+1步，即
~ 分別消去 的若干倍，把第k+1列裡從 到 這些元素消成0。
注意這麼做的時候第k行我們就完全沒去動他了，跟第k步一起跳過了。事實上我們可以更節約一點，把第k行用上，用第k行來做第k+1列的消0參照物。 即
~ 分別消去 的若干倍，把第k+1列裡從 到 這些元素消成0。
做完這些修正後，演算法將矩陣 變成了乙個類似於「上三角矩陣」的樣子，也就是「行階梯矩陣」。其特點為：
1、除了前k行以外，下方的m-k行（如果m>k的話）全部是0.
2、前k行裡每行第乙個非零元 的列標 嚴格遞增：.
3樓：超想數一150
你首先得知道什麼是0矩陣和行階梯矩陣。
行階梯矩陣:每個階梯只有一行；元素不全為零的行（非零行）的第乙個非零元素所在列的下標隨著行標的增大而嚴格增大（列標一定不小於行標）；元素全為零的行（如果有的話）必在矩陣的最下面幾行
所以0矩陣是行階梯矩陣(0矩陣的每行每列所有元素都是0)其次，乙個矩陣只要不是0矩陣，就說明它最少有一行不全為0，所以就可以通過行變換或者列變換等變換，使得它轉化為行階梯矩陣。(具體怎麼轉換，把矩陣學紮實了就自然領悟了。知識之間是相關聯的)
4樓：YorkYoung
定義矩陣的乙個列全為0，稱為0列，否則稱為非0列。
第一步：
如果這個矩陣只有一行，直接結束。
否則從左往右檢索矩陣所有列，找出矩陣第乙個非0列：
如果存在進入下一步；
否則說明矩陣是0矩陣，則已經階梯化，結束。
第二步：
從上往下檢索第乙個非0列：
如果第乙個不為0的數就在第一行，直接進入下一步；
否則將這個數所在行與第一行交換。
第三步：
從第二行開始檢索：
如果這一行第乙個非0列不為0，將第一行乘以乙個數，得到乙個中間結果行，使得它第乙個非0數與第二行對應的數相等，將第二行減去這個中間結果行，第一行不變。
否則第二行不變。
對於後面所有行，重複對第二行的操作。
第四步：
如果第乙個非0列就是最後一列，結束；
否則暫時排除第一行和包括第乙個非0列之前的所有列，得到乙個子矩陣，對這個子矩陣重複包括第一到第四步的所有操作（注意第一步中的退出條件）。
5樓：自我中心
這個意思就是說:全0矩陣是一種特殊的行階梯矩陣，而不是全0的也就是秩大於等於1的總歸能把每一列其他元都通過初等變換化為0
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Exit 因為矩陣乘法的規定 拿右乘是列變換舉例吧 若將左邊矩陣寫成列向量的形式 k是數字，其餘是向量 會發現，三個列向量 們的右乘乙個矩陣得到另外三個列向量 們，而每個 都是三個 們的線性組合。2.若將左邊矩陣寫為行向量的形式 就會發現有所問題 們並不能寫成 們的線性組合，他們的關係變得複雜了起來...
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