1樓：
各位，有必要區分一下離散和連續變數的情形，兩者的熵性質並不完全相同。
如 @Mather King 所說的「如果給定熵，方差有下界。」等結論中，「熵」指的是連續變數的微分熵。如果是給定離散變數的熵值，則方差沒有非平凡的下界。
例如Pr（X=0）=Pr（X= ）=1/2（ 0" eeimg="1"/>），此時H[X]=2 log 2，與 無關。但方差顯然會隨著 減小而趨於0. 容易看出，這種情況下方差大小基本由 控制，跟熵值沒有什麼關係。
2樓：
對於所有方差為某個常數的分布，熵有上界，由正態分佈取到。
類似地，如果給定熵，方差有下界。
高維也有類似結果：給定合法的協方差矩陣，熵有上界，由正態分佈取到。
反過來的界是沒有的。給定熵（大於零），方差可以任意大；給定方差（大於零），熵可以任意小。
3樓：TniL
看一下兩者的定義式就知道了，兩者沒有必然的關係。
以連續型隨機變數為例，方差：
熵：可以看到，隨機分布的熵只和概率有關，和變數的取值無關；而方差與隨機變數的取值有關。
在常見的概率分布中，可以觀察到方差和熵是正相關的。在單峰的概率分布中，概率mass越分散，方差越大，熵也就越大。如果是其他特殊的情況，這就不一定成立了。舉個例子就知道了。
構造乙個均勻分布 ，其中概率密度函式
密度影象為
此時，方差為
熵(取底數為2)為
現在將概率mass切割為兩個部分，令
密度影象為
這時，方差為
熵仍然保持不變，為
其他任意的概率分布也可以類似地操作，將任意概率分布切分為兩個部分並向均值兩端「平移」，熵不會改變，但是方差都會相應地變大。
可以看出這兩者沒有必然聯絡。
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