1樓：emmmmmmm
如一位答主已經提出，氫原子等結構裡也有量子化的能級。所以，問題的關鍵不在於空間範圍是「有限」還是「無限」，而在於這個態是不是「bound state」，也即束縛態。
通常來說，對於乙個空間中的粒子，我們可以考慮其哈密頓量為【動能】+【空間中存在的勢場】。粗暴的理解方法是，解這個定態薛丁格方程的時候，你會發現只有當E小於某些特定的值的時候，能譜才是離散的；而高過該值時，可能存在連續能譜。前者稱束縛態，後者稱非束縛態。
這個值其實是V(r=infinite)。例子如氫原子、N維無限深/有限深方勢阱、一維delta勢阱、以及它們的組合等。
不過，還有另一種直接明了的，初看可能覺得不靠譜，但細看會覺得賊有道理的方法，就是WKB近似。對於某一空間區域，我們可以試探性地設乙個形如
exp(i*const*sqrt*x)
的「行波解」。為什麼這麼搞呢？因為半經典地來說，k^2+V=E（係數需要讀者自己加），所以上面形式上是乙個行波。
那麼對於E>V(x)的區域，根號裡面確實是正數，最後得到的也是行波；而如果E然而對於E-V(x)符號不同的區域，波函式的連續性要求一定的「連線條件」，或者叫「邊界條件」。可以想像的是，如果無窮遠處是行波，整個波函式是沒有「邊界」的，於是對由此構造的波函式實際上沒有任何限制：只需要挨個邊界地粘起來就行了。
但如果無窮遠處是指數衰減的，這實際上就會對連線條件帶來更多的要求，而這樣的連線條件往往就是能量的量子化條件。
所以WKB近似是一種從經典的角度思考，通過構造量子化條件來解決量子力學問題的，半經典近似方法。
由此也可以看到，能譜離散與否，與之直接相關的並不是空間有多大。（畢竟有限大空間實際上可以看作是外面全是無窮高勢壘）
2樓：zjm
第1個概念了，所有的粒子都是以乙個波的形式存在的，是機率波。如果空間有限大，那麼所有的波呢，只能是以駐波形式存在。如果是駐波，那麼它的波長必須和空間相匹配。
也就是說它的半波長應該等於整數，應該等於空間長度。所以能量就是量子化的。因為能量是和它的波長有關的，動量是和波長有關的能量，可以認為能量是動量的平方除上2M，前提是自由粒子。
當處於無限空間的時候。對駐波的要求仍然存在，但是這個時候嗯，因為它是無限長，所以所有的駐波都可以存在，所有的波長都可以形成駐波，於是能量就是連續的。
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