1樓：
簡言之：
度規張量是空間中
定義向量的分量與向量的模
之間關係的一種量。
下面以平面為例展開說：
在乙個平面上，分別取乙個
直角座標系和乙個斜角座標系，
並對於其中乙個向量
分別給出模 的平方公式。
則直角座標系中：
而在斜角座標系中：
(其中 為座標軸的夾角)
這裡出現的兩個矩陣
和 就是平面的度規張量
在不同座標系中的表現，
它通過這樣的矩陣形式描述
向量的分量和向量模方之間的關係。
不過需要注意的是，
雖然度規張量在不同座標系下
表現成不同的矩陣，
但它本身不依賴於座標系選取，
而僅取決於平面的幾何性質。
而在4維平直時空中取直角座標系時，
度規張量的形式為 矩陣：
它也取決於時空的幾何性質，
所以也是廣義相對論中
描述彎曲時空曲率的必要工具。
PeiLingX：[深度科普] 度規與時空(上)：從二次型的幾何直觀說起
2樓：吳班
說乙個你可能不愛聽的建議，如果你還不知道度規是什麼，那麼我建議你最好還是先去學習入門的微分幾何，然後再來看加來道雄的書，不然恐怕只能是看個熱鬧。
3樓：
適量空間V上的度規，是乙個對稱非退化的（0，2）型張量。
流形M上的對稱的處處非退化的(0,2)型張量場就是度規張量場啦。
知道內積空間的話就會發現，這個定義很像復矢空間的內積，但若吧復矢空間改為實空間，原來的內積就是正定度規，但由於度規可能非正定，所以度規未必是內積。
上課去啦∪ω∪
4樓：
通俗地說，在乙個座標系中，度規張量是用來描述一段很短很短的線段長度和線段兩個端點座標之差的關係的乙個2階張量。換句話說，度規張量定義了乙個座標系中如何度量曲線的長度。
眾所周知，如果我們有乙個配有笛卡爾座標的三維歐式空間，空間中有兩個離得很近很近的點，座標分別為與，那麼兩點之間連一段直線，它的長度滿足：
1)這是人人都知道的勾股定理。如果連線兩點的不是直線而是一般的光滑曲線，只要兩個點足夠近，曲線的長度都可以用直線段的長來近似，差別為的高階無窮小，因為積分為0，通常是可以忽略的。
同樣是三維歐式空間，但現在我們換成球座標，這裡定義為點到座標原點的距離，是點的「緯度」，是點的「經度」，這時兩個點的座標寫成和，這時兩點之間的距離不再直接滿足(1)式。根據簡單的高中學過的空間幾何，同樣根據勾股定理，或者將代換：
代入(1)，我們的現在滿足：
2)現在我們來觀察(1)和(2)，它們有個共同的特點：小線段距離的平方是各座標之差的二次型，即是關於這三個變數的二次的多項式。我們推廣一下，寫成一般形式，對於維歐式或非歐式空間的任意座標系統，乙個無窮小的線段的長度可以人為地定義為（為了通俗，我這裡沒有區分共變和逆變）：
其中2階張量就叫做度規張量。
對於剛才舉的兩個例子，三維歐式空間的笛卡爾座標中的度規張量為：
而對於三位球座標，度規張量為：
這兩個例子都是容易想象的例子。乙個不容易想象的例子是非歐式空間的度規。非歐式空間是不滿足勾股定律的，所以會看到乙個奇怪的度規。
比如，廣義相對論認為具有能量動量的物體會改變空間的度規，讓它變得不是歐式空間。那麼乙個不旋轉的球形天體（比如太陽）周圍的度規長什麼樣呢？這就是著名的史瓦西（Schwarzschild）度規（寫在「球座標」中）：
其中，是光速，是引力常量，是中心天體的質量，是時間。注意，相對論是使用四維空間來同時描述空間與時間的，所以這裡定義的距離是兩個事件的時空距離。
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