1樓：愛分析的QQ糖
排序就是編號，編號就是數數，就是從1,2,3,。。。。。開始數，能數出來就能排序。數學上這樣的集合又叫可數/可列集，形式化一點就是看能不能找乙個與正整數整合一一對應的關係。
2樓：
原回答（下面）其實沒有正面回答這個問題，但這其實應該只是乙個定義的問題
首先要求集合是關於自然序的良序集顯然是太過了，整數全體應該是「按自然序可排的」，但此時它不是良序集
乙個更合理的定義或許是：乙個實數的子集，其上賦予自然序，如果任取它的乙個數作為起點，我們可以找到大於它的最小數，也可以找到小於它的最大數，就稱它是「可按自然序排列的」
應該也可以從拓撲的角度考慮，乙個實數的子集在實數集上關於歐氏拓撲無處稠密，或者說任意乙個實數都不是該子集的極限點，顯然就是「按自然序可排」的了，等價於說是極限點集為空的點列
好吧，確實就是一堆廢話……
所謂的「序」，其實是集合上的一種關係，如果要將全體元素納入「序」考量的範圍，我們需要定義「全序」，比它更弱的概念是「偏序」，更弱的是「預序」。
承認選擇公理後，我們可以證明任意（非空）集合可以被賦予良序，這就是所謂的良序原理。有時候也將良序原理作為公理，以此也可以證明選擇公理。
這是個聽起來很不可思議的命題，因為在我們的直觀感受中，良序簡直就是「可數」的意思。例如整數全體，我們按以下方式排列
0,1,-1,2,-2,…,n,-n,…
我們說整數m小於等於整數n，如果m在上表中不位於n的右邊。如此可賦予整數良序。
這是容易理解的，但良序原理包含的物件是全體非空集合，我們熟悉的不可數集——實數，當然也被包含其中。
但有理數還是可數的，實數要如何賦予良序呢？這個我暫時還不知道有什麼構造性的方法，說到底選擇公理本身是非構造性的，良序原理本身只借助超限歸納提供了良序的存在性，而沒有具體的構造方法。
3樓：非平凡的理想
瀉藥所謂的任意排，其實是一種可數的體現。我們先說說排序，這裡並不是說任意取兩個有理數，它們之間總是可以以加起來除以2這種操作來得到新的有理數，所以就不對了。事實上，我們總是可以按照一定的規律，將他們乙個乙個全部列出來，這裡的排序其實是這個意思。
所以這裡能夠排出來，其實就是指可數。
良序定理認為「所有集合都可以被良序排序」，那這樣不是意味著所有集合都是可數集麼？
continuous 解決這個問題的關鍵是選擇公理和良序原理的嚴格敘述方式.再加上超窮歸納法的應用.首先,選擇公理 存在乙個函式c,他的定義域是全域除去空集 滿足 c x 屬於x.個人感覺這個公理其實是個比較弱的性質了 然後是超窮歸納法 對於每個函式g存在唯一的f,它的定義域是序數,且對於每乙個序數...
為什麼集合本身還可以是乙個集合的元素？
BobG 以下為回答 如果不能的話，數學的公理化過程就不是現在這樣了。自然數是怎麼定義的？空集是0，是1，是2，依次類推。我記憶可能有誤，以書上為準 沒系統地學過數學的人可能會以為數學有很多東西沒法定義，比如1，2這些自然數。實際上目前數學上唯一沒有定義的東西就是集合。如果不允許集合套集合，不僅自然...
集合的定義是什麼？集合用什麼表示？
古天歌 集合就是，我們研究的東西，他們的統稱叫集合。而我們研究的東西叫元素。就相當於包餃子，乙個餃子乙個集合，裡邊的餡兒是元素。集合有三個要求。確定性，互異性，無序性 確定性 必須確定我們研究的東西到底是屬不屬於集合。或者說，餃子裡面的餡兒必須確定是裡邊的還是外邊的。裡邊的屬於集合用 表示，讀作屬於...