1樓：浩浩耗
不知道統計學算不算在題主定義的數學範疇，如果算的話，我最佩服的神技是血戰Pvalue。
0.05，乙個多麼奇妙的數字，它擋住了多少大神衝擊神刊的道路。而又讓多少人為之想進一切辦法，只為讓這該死的公式結果<0.05
依稀記得，當年第一次親自做實驗，同事手把手輔導，當我發現qPCR只需要三個重複，他卻強烈建議做五個，求其解惑。同事以極度猥瑣的表情，甩出一句話「一切只為Pvalue，凡事留一線，日後好相見。」再分析完第一批qPCR結果之後，我深以為然。
2樓：Alex Julius
所有技巧的本質是對命題的加強，對條件的部分選取，卻使得命題結構得以變化，或切入點更為精確，從而能夠得出或更小計算複雜度地得出結論。
技巧本質是一種對結構洞察力的體現，從知識的角度來看技巧，我最佩服哪個技巧，這種說法是錯誤的，這似乎把數學變成了武術招式一樣，我這麼一用，然後贏了，這是違背經濟學原理的。
許多人看問題的角度是一樣的，某種武術招式可以天下無敵，某種技巧我一用就解決問題，某種戰術非常先進我一搞就就打遍天下，他們缺乏對非壟斷因子的洞察，始終像是局外人，搏擊源頭上靠的是天賦（身體協調性，爆發力，反應速度），數學靠的是天賦（嚴密，洞察力），戰爭靠的是經濟投入（規模，科技，訓練度）。
3樓：等待小蝸牛
剛剛看到Tensor power trick，就感到有一種強烈的答題的衝動。那個回答裡的例子，形式上很優美，看著也很舒服，不過可能對新手玩家並不友好，比如說我，我就不知道那裡定理講了點啥。。
數學中，你最服的技巧是哪個？
所以我想寫乙個每個懂加法和減法的人都能看懂的例子來展示一下Tensor power trick有多麼powerful。Theorem 1的證明需要蠻多別的結果，限於篇幅就不寫了。我們著重展示如何改進Theorem 1。
下面開始正片預熱：我們記集合 ，同理， 。稍微複雜一點地，記集合 。
作為Green–Ruzsa covering lemma的乙個推論，我們可以得到乙個如下結果：
Theorem 1:令 是群 的兩個加性子集，那麼有 是不是看這個16非常彆扭，好好的乙個定理，為啥要多這麼醜的乙個常數呢？
下面是正片，我們可以把16給去掉！！
Theorem 2:令是群的兩個加性子集，那麼有
固定 ，令 是乙個非常大的正整數，考慮 ，當然 是加法群 的乙個子集。以下三個命題是容易驗證的。
那麼接下來，我們只需要，把Theorem 1中的 由 替換，就得到了
，然後把兩邊同取 次根號，並且令 ，那16就被抹掉了，就得到了Theorem 2。 OK！大功告成！
恭喜你已經學會了傳說中的Tensor power trick。
4樓：
康托證明不可數集合存在性---對角線論證：
管豎子：白話泛函分析（三）不可數集合的論證https://
zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8D%E8%A7%92%E8%AB%96%E8%AD%89%E6%B3%95
5樓：張驥
不動點定理。不誇張的說，從高考到考研甚至考博，一半以上的大題可以用不動點定理解答。
科研中處理物理問題時候，直覺加上（不不嚴謹）的不動點定理，可以把non trivial 問題找出來。
舉個例子，今天剛剛看到的一篇文章，
Lei, Qun-Li, Massimo Pica Ciamarra, and Ran Ni. "Nonequilibrium strongly hyperuniform fluids of circle active particles with large local density fluctuations."Science Advances5.
1 (2019): eaau7423.
active particles（比如細菌）在微觀上運動是高度無序的，巨集觀上的平均性質，不嚴謹的說就是質心運動定律。使用不動點定理就能建立二者的橋梁，質心就是那個不動點。
6樓：Martin awodey
用拓撲來證明代數定理：代數拓撲中，利用S1的Fundamental Group證明復引數代數方程必然有復根（代數基本定理）
7樓：騫耕
現在工作中經常用到座標轉化，雖然有現成的轉換矩陣，但總是記錯，還好上學的時候張量裡面學到了座標無關性，然後老師順理成章地講到了座標轉換方法，不管是座標在動還是幾何體在動，只要公式一寫，保證結果千真萬確。當時教授張量的是李錫夔老師，乙個非常厲害的老教授。
8樓：
說乙個冷門一點的，利用組合數的意義證明組合恒等式。本質上應用的是算兩次原理(Fubini原理)，但構造難度極高。（八百年也想不到系列）
舉乙個比較難想的例子，出自《命題人講座·組合問題》
（未完待續）
9樓：
數學歸納法。
在高中初見的時候，只留下了「在證明數列的通項公式很有用」這一印象，而當再次精讀陶哲軒先生的「實函式分析」時，才發覺它是創造自然數的工具。
數學歸納法暗藏了遞迴的思想。事實上，這也是自然數的本質。我們先定義0，再逐次利用遞迴定義1:=(0++);2:=(1++)...依次定義下去。
更為奇妙的是，我們所熟悉的加法和乘法也可以利用數學歸納法所定義，例：
（加法的嚴格定義）
這個定義看起來很抽象，我們不妨舉個例子來試試。好比計算3+2:令n=2，得(2++)+2.
（注：在定義加法之前，自然數只告訴了我們1=0++,=1++...我們只能處理最基礎的「增長」運算）
通過定義，上述式子「回歸」到了(2+2)++。++是我們熟悉的運算，通過自然數的定義，即把前者的結果再加一就好了。因此我們需要關注的是(2+2)。
那麼令n=1,得到(2+2)=(2+1)++，類似的，我們只需計算2+1，即2++=3。因此綜上：
(3+2)=((2+2)++)=(((2++)++)++)
（注：++即+1）
而這個式子，非常符合我們對加法的直觀理解！為什麼這麼說呢，3加2，即把2加上3個1，即增長三次，與這條式子的表達完全匹配！
再回顧我們的計算過程，其實也正是遞迴的過程。不嚴謹地講，我們把(3+2)「拜託給」 (2+2)，再把(2+2)「拜託給」(1+2)，即2++，這正是我們最熟悉的運算。
類似的，自然數乘法也同理。這裡就不多贅述了。
除此以外，歸納法在證明自然數類的命題上也頗有一套，如有機會再帖例題。
10樓：
大部分回答都沒分清什麼是數學思想，什麼是數學方法，什麼是數學技巧……
我認為所謂技巧，大多都是那些難以捕捉動機，像先知一般的構造……
11樓：
樓上的各位大佬說了好多高等數學的技巧，在下獻醜說說高中數學做題時用到的乙個技巧。不知算不算偏題……
試卷上經常出現求乙個角是多少度的題目，像我這種學渣做不出來的時候，只好用量角器實際量一量了，不過高中的角大多是特殊角，而且越正規的考試試卷上給的圖越標準，所以量出來的基本都是正確答案。用這個方法做對過好幾次填空題，親測有效。
12樓：千舞瀟
不能說最服吧
證明1=0.9999999...
1/3=0.3333...
2/3=0.6666...
將上述兩式左右分別相加，得到
1=0.9999...證畢
13樓：大鯤子
L』Hpital rules, 洛必達定理，又稱 L'Hospital rules,「醫院定理」，俗稱無賴流氓大定理， 改變了我對數學嚴謹態度的看法
14樓：乙個小透明
知乎首答，最近越來越覺得痛並快樂著的數學...
先一下膜樓上的眾位大神們...
現階段（乙個渣渣的艱苦大二生涯...）覺得比較巧的是 generating series 和 weight function 的引入？
一開始覺得這玩意兒沒啥用後來啪啪啪打臉...
定義是這樣的：
一開始覺得這不就是給每個元素分配了乙個比重麼...除了證一證二項式定理也不知道能幹啥...
還不及我們的楊輝三角來得簡單...
舉個栗子：
對於乙個二進位制的字串（是這麼叫的吧...）， 定義 weight function ： s 中1的個數， 則 （0010）＝1， （101110100）＝5 。
有用的地方：generating series 中 的係數是所有比重為k的元素的個數。
後來發現了一些神奇的栗子...
給定一種二叉樹，rooted at the top，left childern 和 right children 是可分辨的，問：當有n個vertices時， 這種樹有多少個分型？
屁如 n＝4時， 有14種分型：
這些binary rooted tree 都有乙個 recursive decomposition
定義乙個 recursive structure（bijection）：
代表root， 代表沒有children， 代表left children或right children.
然後利用generating series 和weight function：
得到了乙個二次等式：
解得：有n個vertice時，這種樹的個數即 中 的係數：
利用 Generalized Binomial Thm：
解得：所以最終答案就是： ， n-th Catalan Number.
當有n個vertices時，共有 個分型。
相似的例子還有什麼 Lattice Paths：
都是用generating series 和 weight function 做工具的...
曾經的我還想嘗試用高中學的計數原理試一試，後來發現generating series和weight function更具有普遍應用性，啥都能算，看起來不太叼，其實想想還蠻叼的...
再能想到的就是數形結合
雖然不及理論推導一步一步十分嚴密，但是也有許多漂亮的例子...
屁如 Hlder's inequality 的引理：
看著蠻簡單的不等式，積分證就比別的方法簡單好多...
再出名一點的勾股定理的證法？初中老師還讓寫過長長的證法總結...
有錯的話請大神們指正
足球中，讓你感覺最悲情的場景是哪個？
無所不能的Tom 並不是歐文球迷 但是歐文膝傷那一下，疼的在場上打滾，又不能耽誤隊友，乙個人爬著到場邊。真的很悲涼。也讓我對歐文有大大的respect 芥末是秋客 維維安福。當時並不認識，因為不是什麼有名的球星，那個時候喜歡的都是大球星，大羅碧鹹姆亨利之類。突然從新聞裡看到維維安福躺在地上的畫面。這...
樓盤銷售中，你遇到的最奇葩客戶是哪個？
因為一般只在開盤時去給銷售部門幫忙，所以見得不多，印象比較深的有一位。當時是新盤收籌，交誠意金時，有個客戶只帶了一張3萬的卡，按規定誠意金是5萬，其實如果是一時大意錢忘帶了，可以和自己的銷售人員溝通一下，只要不是房地產大熱房子靠搶的時期，先把3萬交了排上號，剩餘的申請第二天補上，說不定相關領導會批准...
你覺得七龍珠中哪個 BOSS 是最狂的？
結構 沙魯老比克害怕有人能匹敵他所以殺掉神龍 弗利薩忌憚超級賽亞人的傳說而毀掉貝吉塔行星，他們肯定不能算狂。胖布歐只好玩，小布歐沒有理智。大布歐看似狂但實質是因為心裡有所算計，有把握掌控戰局，也不太算狂。反觀沙魯。一階段，自以為穩贏比克把底細全倒了出來 你只是廢了人家乙隻手而已喂，怎麼就確定人為魚肉...