為啥要把A拆成LU？

1樓：天下無難課

把A拆成LU不是為了做學問，拗學術造型，而是為了在重複計算時省事。

在現實中如果有乙個方程組的係數穩定不變，也就是在y=Ax裡，A不變，但要達到的目標陣列y老要變，就是y=b的這個b老變，這個情況是存在的。為了在計算上省事，咋辦？

你看啊，對於乙個Ax=b，b每變動一次，x通常就不一樣(尤其A滿秩時)。為了求解x，乙個標準的做法就是把A變成乙個上三角矩陣U(同時把b變成了b')。在這裡，無論b是啥數，從A整出來的U都是一樣的，只不過b變了以後，b'也不一樣了。

後來有人想省事，就問：對於乙個Ax=b，咱們能不能把Ux部分固定下來，無需一遍又一遍地搞把A變換成U的操作，而是只需要把b變成b'即可？這個思路就導致有人搞出了A=LU的拆分法，使Ax=b變成了LUx=b，然後就有Ux=Lb了。

這樣，只要在第一次求出了U和L，對於同乙個A，若b有變化，就不需要每次搞把A變換成U的操作(因為都一樣)，而只需要操作把b變成b'的操作，就是計算b'=Lb，然後就妥妥地根據Ux=b'求出x了。

你看，L就是幹這個的，是個偷懶省事的辦法。當然，如果你只是列一道題，那你就用高斯消元法一次性地把A整成U，同時把b整成b'就行了，不需要求啥勞什子的L。可在實際工作中，對於乙個由Ax=b表達的方程組，可能有很多不同的b，我們要得到對應的x，這時，求L的好處就會體現出來了。

不過，要記得，光求出L還不夠，要從b得到b'，我們還要求得L，就是L的逆矩陣。

把A拆成LU不是啥神秘操作，就是圖省事(減少計算量)，第一次麻煩些，不僅要把A拆成LU，還要求得L的逆。可後面就省事了，無論啥b，總是有同樣的Ux龍門陣擺好在那裡，你只要用現成的L左乘b，就得到b'了，然後分分鐘從Ux=b'裡求出x了。

剛開始學到A=LU，有人或誤會為裡面有啥高深學問，其實沒啥，就一懶鬼。