1樓：乙隻渴望學習的豬
高讚的回答是有問題的。
高讚認為這兩者的區別在於是否讓所有向量正交。
其實這兩種演算法都可以讓所有向量正交，之所以只讓第i-2,i-1這兩個向量的正交，是因為當i增加時，因為數值上抵消現象，正交性會逐漸缺失，所以才用i-2與i-1確保至少相鄰的正交性是不錯的（Modified GS），如果正交性喪失得過多，還需要重啟krylov空間。施密特正交化的方法也可以只讓相鄰向量正交。
不過lanczos演算法的優勢確實是在對稱稀疏矩陣中能夠保持不填入的特性，其實就是arnoldi過程，只是矩陣是對稱的。
lanczos演算法的實質是在krylov子空間中尋找乙個矩陣，乙個什麼樣的矩陣呢？乙個與原矩陣最接近的矩陣，這個矩陣的是乙個三對角矩陣，用這個矩陣的特徵值去近似原矩陣的特徵值。
QR演算法用的施密特正交是直接解法，是需要求解所有的特徵值，不可能說做到第k維就不正交下去了，而lanczos演算法是迭代演算法，是優化演算法，我可以在k維krylov子空間中找，也可以在k+1維中找，兩者本質完全不一樣。
lanczos演算法也可以求解矩陣所有的特徵值，不過那樣迭代次數會比較高。如圖是lanczos演算法的特徵值收斂情況，可以看到最大和最小特徵值是收斂得比較快的。（紅色的為真實特徵值）
這種演算法非常厲害，與冪法相比收斂速度會快很多很多。
這個過程的推導原理簡單幾句話還講不清楚...後面有緣再來補充吧。
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