1樓：
首先我們回憶下歐幾里得整環的定義：
我們把乙個整環 稱作是歐幾里得整環，如果存在乙個從 到 的函式，滿足：
任意給定 中的兩個元素 其中 那麼存在 中元素 使得
而現在我們的函式 多了兩個條件：
的情況比較簡單，事實上，此時對於 中的所有非零元素 , 由條件 有 ，接著在 中令 知道 只能是0，所以 整除1，所以 中所有元素都是可逆元，從而 是域。
呼！戰鬥開始！
如果 ，那麼由條件 ，。
事實上，此時我們可以推廣到 的所有可逆元全體上面，設 是 上的可逆元全體，我們有
引理1： 。
引理1證明：若 ，則 。
反之，如果 ,則在中令 知道 只能是0，所以 整除1。
引理1證畢。
事實上由引理1和條件 我們可以推出 中的單位元全體並上0構成乙個域。
引理2： 構成乙個域。
引理2證明：根據域的定義，我們只需證明 此時對於 封閉就行。
，有 ，從而 。
引理2證畢。
由引理2，我們將 這個域記作 。
我們已經攢夠足夠的資本去證明我們的最終目的了： 要麼是域要麼是一元多項式環 ！
上面的分析讓我們知道 中有個子域，它是由 中的單位元全體並上0組成的，如果 是域，那麼 。
假設 不是域，那麼存在 中非零非單位元的某個元素 ，使得 是使得 在所有非零非單位中取值最小的，由引理1，我們知道 1" eeimg="1"/>。
此時對於 中的任意非零非單位元 ，即當 時，為了後面的方便，我們將 記作 。由 知道有式子 ，其中 或者 ，根據我們所取的 的意義，這意味著 ，且此時 ，注意到 1" eeimg="1"/>，由 從而有 ，如果，則我們的演算法可以繼續下去：
， ， ;
， ， ;
， ， ;
因為 在 上取值，且在 上嚴格遞減，所以上面最後存在某個正整數 使得 ，由 的取值知道此時 。設這一步的式子為
， ， ，且由 d(\alpha)>d(\delta_)" eeimg="1"/>，知道 。
我們逐步得代入得到 的乙個表示式：
其中， 都是域 中的元素。
從而我們證明了 （即 中不在 的元素全體）都可以寫成 ，其中 ，
所以 ，但 是顯然的，所以我們有 。
如果 是 上的代數元，則 此時是乙個域，與我們的假設矛盾。從而 是上的超越元，從而 ，是域 上的一元多項式環。
Whew！！證畢！！！
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