1樓：東雲正樹
題目的說法應該是有問題的, 在薛丁格繪景下不隨時間改變(或者說僅總相位隨時間改變)的是不含時哈密頓算符的本徵矢, 即定態.
而力學完全集的目的是確定乙個態, 因為對於簡併的本徵值並不能確定乙個態, 而只能確定乙個本徵子空間. 我們要把確定的空間維數降到一維才算確定乙個態. 所以需要尋找力學完全集來加強限制.
然而完全集確定的態就真的僅僅只是乙個態, 他並不被要求是乙個定態.
所以並不是任意的一組對易力學量完全集的共同本徵態就不隨時間變化, 要這一組力學量完全集裡的算符必須都與哈密頓量對易這個結論才成立. 因為對易的話就可以與不含時哈密頓量找到一組共用的本徵矢. 也就是說這時的共同本徵態就是定態.
所以我們也稱與不含時哈密頓量對易的算符的本徵值為"好量子數". (大概是因為好在不隨時間變化與可以表徵能量本徵態吧.)
若不含時力學量與不含時哈密頓量對易的話, 那就稱它為守恆量, 因為任意態下平均值不變:
對有: (下面第三個等號用到了對易關係)
至於說 的話, 詳情自行搜尋"時間演變算符",
或者你可以強行理解為解微分方程:
也可以這樣證明:
還能從這個角度證明:
即對易總有共同本徵矢.
薛丁格繪景下基右矢一般是不隨時間變化的(海森堡繪景下基右矢隨時間反著轉), 但如果用不含時哈密頓量的本徵矢做基矢的話, 基矢時間上固不固定都一樣, 這也就是說:
理論上選擇哈密頓量本徵矢做基矢的話封閉性關係為:
但如果不固定基矢仍然有封閉性關係[1]:
然後有乙個資訊守恆定理[2]:
這樣一來就有:
I see, 是有點兒脫褲子放屁的味道. 但這裡目的主要是引出基右矢這個概念, 以區別態右矢.
實際上插入也是沒問題的:
還有乙個不隨時間變化的就是定態下任何不含時力學量的均值, 因為:
對 有:
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