1樓：
這個問題更應該從motive的角度來回答. 所有的算術資訊都包含在pure motive之中(只考慮光滑 projective的variety). 基本可以理解為對於乙個pure motive, 它的p-adic realisation能包含多少這個pure motive的資訊.
更精確的可以問p-adic realisation是不是full-faithful的functor? 類似Hodge conjecture之類的問題. 我記得好像是數學家猜想是full-faithful, 當然離證明還差的太遠.
所以可以說Crystalline cohomology包含了所有的算術資訊, 但是這是個極難的猜想.
2樓：「已登出」
作為乙個民科，不請自來裝裝逼，不要見怪，順便捋一捋自己的知識點
Crystalline cohomology （晶「格」上同調）其實只是乙個名詞(比如斑馬線其實就是行人路)，將它的表示式寫出來就是 ，且分為扭轉和非扭轉，雖然在微分幾何與微分(代數)拓撲的定義和應用都有些許的區別，但說的都是一回事。（微分幾何、和代數拓撲、微分拓撲已經融合了很多，有時無法區別）
(微分幾何)設 是(光滑)復流形，由Ehresmann平凡化，可知 ，即 的元素提公升是平凡的(不管怎麼提公升都是平凡的)，也就是說 作上同調(提公升)的任意兩個光滑點都可以看做相差乙個度量(係數)的正則空間，所以Crystalline cohomology （晶「格」上同調）可以看作是每次提公升都是在晶「格」上的「頂點(好像不能用對角線上，感覺不是那麼準確)」。我感覺自己應該有說清楚........
算術資訊
算術資訊分為微分幾何和與拓撲（概型不太懂），太多了
什麼是晶體上同調論？
2、3樓已經給出了很多算術資訊了，我也加點
1、考慮在 區域性全純部分和 閉集部分作積分可以誘導積分類上同調，得出龐加萊對偶、Lefschetz強(弱)定理、Lefschetz分解、Differential characters(微分字元)三元素 等等
2、考慮 的除子 ，可以研究虧格曲線
3、考慮拓撲，Thom定理（切除定理）可以得到扭轉部分的上同調，考慮過濾有Hodge過濾、(Frolicher)(Leray)譜序列等等
全部都在書裡。
這逼終於也裝完了，哈哈
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