1樓：棉花糖
這是著名的Fermat平方和定理（素數應改為奇素數），由尤拉在2023年證明，這裡就直接貼尤拉證法得了（逃
第一步：證明如果兩個整數都能表示為兩個平方數之和，則它們的積也能表示為兩個平方數之和，也就是Brahmagupta-Fibonacci恒等式
第二步：證明如果乙個能表示為兩個平方數之和的整數被另乙個能表示為兩個平方數之和的素數整除，則它們的商也能表示為兩個平方數之和
假設 能被 整除，且後者為素數。則 能整除
由於是素數，因此它能整除兩個因子之一，假設它能整除 ，由於 ，可推出能整除 ，於是等式能被 整除，於是
因此其商能表示為兩個平方數之和
整除 的情況可以用 證明
第三步：證明如果乙個能表示為兩個平方數之和的整數被另乙個不能表示為兩個平方數之和的整數整除，則它們的商也必有乙個不能表示為兩個平方數之和的因子
假設x能整除 ，且其商的分解式為 ，則 。如果所有的因子 都能表示為兩個平方數之和，則可以用它們去除 並使用第二步的結論，可得每乙個商都能表示為兩個平方數之和。除到只剩x的時候，可得x也能表示為兩個平方數之和，矛盾。
因此，如果x不能表示為兩個平方數之和，則至少有乙個素數 也不能表示為兩個平方數之和
第四步：證明如果a和b互素，那麼 的所有因子都能表示為兩個平方數之和
設x是的乙個因子，記 ，其中c和d的絕對值不超過x的一半，於是
因此 能被x整除，設
如果c和d互素，那麼繼續
如果c和d不互素，那麼 與x互素，因此它們的最大公約數的平方能整除y。於是有 ，其中e和f互素，且z不超過x的一半
如果x不能表示為兩個平方數之和，則根據第三步可知必有乙個z的因子不能表示為兩個平方數之和，設其為w，於是我們從x推出乙個更小的，不能表示為兩個平方數之和，但都能被乙個能表示為兩個平方數之和的整數整除的整數w。由於這個無窮遞降是不可能的，因此x一定能表示為兩個平方數之和
第五步：證明原命題
如果 ，根據Fermat小定理可得 被p除餘1，因此它們的差 都能被p整除，這些差可分解為 。由於p是素數，它一定能整除這兩個因子之一。如果它能整除任何乙個中間符號為加的因子，則根據第四步的結論可得p能表示為兩個平方數之和；而如果它能整除所有的中間符號為減的因子，則它也能整除4n-2個一階差，4n-3個二階差，以此類推。
由於第2n階差都等於(2n)!，顯然無法被p整除，因此p不能整除所有中間符號為減的因子，原命題得證
2樓：何冬州楊巔楊豔華典生
教材上出題也不嚴謹，沒有兼顧到p=2或4k+1.
其實這個用二次剩餘就可以解決呀?
命題：對於奇素數p，若nn+mm=0 mod p，則p形如4k+1其中，nn+mm=0 mod p 等價於 nn=-mm mod p等價於存在xx=-1 mod p，使得 (nx)^2+nn==0 mod p
說明 -1是ｐ的二次剩餘（平方剩餘），故奇素數ｐ形如 4k+1
3樓：
看看這題吧，兩者的證明方法是一樣的。
注：問題應該修改成p是整除 的奇素數。否則易舉出反例：
如何定義兩個數互素的程度？
吳垠 想怎麼定義怎麼定義。定義不是關鍵，關鍵在於你想怎麼用。根據不同的用途自然會有不同的最合適的定義。problem和solution本來就是一體的。只提solution不管problem沒有任何意義。 王贇 Maigo 如果兩個數互素，那麼它們的最大公約數等於 1。如果兩個數有倍數關係，那麼它們的...
乙個整數可以拆成兩個整數的平方和，5201314可以拆成哪兩個數的平方和？
Republic python版本 flag 0 count 1 z 5201314 for x in range 1,int pow z,0.5 1 for y in range 1,int pow z,0.5 1 if x x y y z print f x y flag 1 else coun...
任取兩個正整數，互素的概率是多大？
任取兩個正整數，記，則，要求的結果就是。先看等於多少。相當於下面三件事同時發生 1.概率是 2.概率是 3.概率正是 於是得到，那麼根據上面的求和式容易得到 而分母其實是黎曼 函式 Riemann zeta function 當n 2時的值，它收斂於。尤拉第一次算出了它的值，但用的是不嚴格的三角方法...