1樓：Ruiliang Gao
需要糾正乙個誤區，不是微積分分為哪幾種，而是微積分會出現在哪些數學分支裡面，或者說我們對於哪些數學量可以進行求導或者積分這樣的操作。
我們需要指出的是求導這個操作需要的是所謂光滑性，也就是拓撲結構和微分結構。而做積分這個操作往往需要乙個叫做「測度」的結構，我們總是需要乙個方法來衡量集合的大小。
首先乙個最經典的物件就是單變數函式，對他進行的操作就是單變數微積分，當單變數函式變成多變數函式的時候，就是多變數微積分。當這個函式變成所謂向量值函式的時候，就是向量微積分，也就是數學分析裡經常提到的第二型積分。當然本質上來看這三種數學物件是從 到 再到 這樣的過程，也就是在不同維數的實歐式空間中的分析學。
所用到的微分結構就是自然的歐式空間上的，至於測度就是就是所謂的Riemann積分和Lebesgue積分。
將這個實的歐式空間變成復的，就得到了在復變函式下的一系列analogue，因為復平面天然的與 同構且同胚，所以微積分的操作是本質相同的。但是需要注意的是在復的框架下，我們一般不會考慮性質很差的函式，一般都以holomorphic和meromorphic函式為主，這些函式因為滿足了額外的某些微分方程往往會有一些看起來很神奇的性質，甚至多復變會比單復變有更神奇的性質（比如說Hartogs定理），這也是復分析美妙的地方。
將這個歐式空間變得更一般一些，就得到了所謂流形上的微積分（張量微積分是物理上的乙個說法，我對物理一竅不通，因而我講一些我熟悉的內容）。對於一般的微分流形 到流形 的函式做微分總是要依賴於區域性座標卡，然後把求導的操作在區域性上等同於在歐式空間中求導。在流形上做積分必須提到的就是所謂微分形式的概念，也就是我們對在歐式空間中做積分時的那個「 "給了乙個明確的定義，我們考慮的是對微分形式做積分，這種積分的定義方式也有不止一種，常見的是依賴於其三角分割，也就自然的和奇異同調有了聯絡。
但這些操作本質上就是區域性的歐式空間上的。
當然對於復流形也有類似的analogue，這裡不再贅述。
當我們給流形加上額外的黎曼度量的結構時，有趣的事情終於發生了，我們可以把乙個向量場乃至於一般的張量場對於乙個向量場求導，也就是所謂的聯絡和協變導數，借助於黎曼度量也可以定義所謂的體積元(volumn element)然後來定義積分。聯絡和協變導數幾乎是黎曼幾何的核心概念，也就是研究流形的local nature的工具（借用花姐的說法）。
有了這個黎曼度量的啟發，我們有了更多種方式來在一般的向量叢或者是張量叢上定義聯絡（可以把聯絡看成是一種求導的方式），比如說依賴於Holonomy，依賴於某個2form等等。至於積分，我能想到的乙個用處就是大名鼎鼎的Chern-Weil理論，Chern用一些微分形式的積分來定義流形上的拓撲不變數。
除了把歐式空間推廣到流形之外，我們還可以把有限維的歐式空間推廣到無窮維，這樣我們就碰到了泛函分析的領域。對於乙個泛函，我們可以定義其Frechet導數和Gateaux導數（這兩個詞都是法語，但是我懶得寫那個『了），這兩者在變分法裡有重要作用。也就是我們需要乙個方法來求泛函的極值，那麼對泛函求導就變成了乙個自然的想法。
對於泛函我們一般無法定義積分（或者這不是我熟悉的領域）。但是對於兩個Hilbert空間或者是Banach空間中的運算元，事實上是有一套叫做vector-valued function的微積分的工具的，當然這裡他雖然叫向量但其實是無窮維的向量了。用這些我們甚至可以做運算元值的微分方程等等。
當然乙個常用的工具叫做functional calculus，我們可以對Hilbert空間上的正規運算元（無界運算元需要稠定的條件）定義乙個叫譜測度的概念來做積分，但這個工具主要是用來對運算元進行操作的，得到的結果也是新的運算元，而不是乙個數。
至於更deep的數學裡面有沒有相應的求導或者積分的操作我就不甚清楚了。
2樓：丁丁
我覺得你應該指的分析學的分支，實分析，復分析，傅利葉分析以及泛函分析等。廣泛而言所有涉及到極限的內容都是分析學的領域，微積分通俗上會分到實分析裡面，因為通常大學所學的單變數微積分還是多變數微積分，其基礎都是實數理論。
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