1樓：李詩暘
首先，數學歸納法的結論是對所有自然數 成立，換言之，它是管所有有限的 。無限維的物件，往往是一種極限情況。有些空間對關心的屬性並不是閉的，粗略地說就是，無論 多大，都成立，但是對 後，就不成立了。
舉個簡單的例子，構造乙個實函式
然後有乙個嚴格單調對映把擴充套件的自然數集（就是自然數集再加入乙個叫「無窮」的特殊元素，這個好像有點超綱，如果你大一學了一點復變函式應該就很熟悉了）對映到 ， 即
其中， 。這個無窮元素 你可理解成表示乙個（其實並未收斂的）極限 。
注意有 。
最後把兩個函式復合一下，即令 ， 也就是。
好了，現在對於這個函式 ，我們知道：
；如果對，有 ，那麼 也是滿足的。
對以上兩點使用數學歸納法我們可以推知，對所有 ， 成立。也就是說，「函式值為0」這個性質，所有有限的 都是成立的，但偏偏對無限的 不成立。
另外，無限維，可以是不可數無限維，比如像實數那麼多維，這時候顯然用自然數推廣就沒用了。
我不清楚你的背景，你的疑問等你好好學了分析學，尤其是泛函之後，就會自然消除了。
2樓：
數學歸納法的大框架：
命題在1維空間中成立。
如果命題在n維空間中成立，那麼在n+1維空間中成立。
於是，對任意正整數n，命題在n維空間中成立。
但是不好意思，「無窮大」不是乙個數字，跟任何乙個正整數n都不相等。
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