1樓：程式碼之詩
初衷……這是個麻煩的問題。歷史很清楚，但「初衷」是問動機，這個只能猜。
早在古希臘-時代，阿基公尺德就已經熟練的使用窮竭法來計算各種幾何形狀（包括被任意直線切割的雙曲線、拋物線）的面積，並且以此推算 π 的值。注意到他的方法在數理邏輯上已經無懈可擊，甚至遠比後來「牛B頓」和「來把你呲」更具堅實的理論基礎，我們就會意識到，阿基公尺德離近代意義上的極限只有一步之遙——而極限正是後來微積分的基礎。
再者，考慮到代數與分析在微積分已經發明的時代還沒有「合法地位」（意指它們沒有象幾何那樣堅實的公理—演繹體系），純屬「在野黨」，我們「幾乎」可以認為：積分是為了求面積和體積而生。而微分則是積分的逆運算。
然而，這個推測大概只對萊布尼茲有點用，對牛頓來說，是不全對的。
在《原理》中，牛頓已經清楚的表述了加速度與力的關係。而對於非勻速直線運動，一般的計算運動距離是非常困難的——至少傳統的幾何、代數都做不到。從這個角度來說，微積分的初衷是解決現實的物理問題。
數學為物理服務，這在今天幾乎是常識，但在伽利略之前，並不是這樣理所當然。亞里斯多德就認為自然是按幾何（再提醒一次，微積分之前的數學幾乎就等於幾何學）設計的，所以人們只需要嚴密的邏輯推理找出幾何真理就夠了，物理純屬多餘。
當然，在天文學領域仍然是幾何驅動的——行星運動時間與行星到太陽的連線掃過的面積成正比，這當然需要微積分來進行確切的運算。
不管怎樣，一方面是歐幾里德幾何難以為繼，一方面是伽利略重新定義物理之後亟需新的數學工具，微積分就被搞出來了——以一種簡單粗暴極不嚴謹的姿態。
對了，補乙個段子，扣下題：
傳說有一年，牛津大學陷入財政危機，連牛頓的工資都要拖欠了。牛教授上訪被K之後……牛津的學生得到通知：新增必修課《微積分》一門，考試不及格需補考至通過為止，每次補考交10英磅補考費……
幾乎同時，漢諾瓦大學也發生了財政危機，這大學有個教授叫萊布尼茲……
微積分的哲學基礎是什麼？
我認為微積分的哲學基礎有兩個 1 人們相信或者認為自己對這個世界是有把握能力的 2 恰好，我們實踐和思考的邏輯起點都是 段 而非 點 前者可度量，而後者不可度量。有了 段 才有了，才可能被度量，有了能被度量，才能有了比較，有了比較才能有構建起微積分的基石 極限。有了極限微積分的微積分大廈的基礎夯實。...
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多元微積分中有偏導數，為什麼沒有偏積分的概念？
智商稅 導數的物理模型可以是能量對空間的導數為力 但積分的物理模型就是力對空間的積分是能量。偏導數是因為空間是個多變數的東西，一元因變數對多元自變數的全導數，本應對應多元行向量也就是梯度，為了認識這個向量就把每一元分出來分別計算出其實值，事實上也總能分出來。物理化學裡運用偏導數的時候，右下角必須表明...