1樓：lyjpaul
密度矩陣本身並不具備所謂物理現實層面上的物理意義，我們應該把他看作乙個可以用來計算概率的數學工具，儘管它包含了乙個量子系統的許多資訊，但是並不對應於某個physical property。
2樓：羅秀哲
密度矩陣實際上是一種對經典概率的推廣。最高贊所說的二階矩只是冰山一角，此外使用經典概率去理解量子概率是不夠的。實際上很多高等量子力學教材都沒有去詳細講這件事，這主要是由於經典量子力學（非相對論，非量子場論的簡單的那種）的數學基礎一直到上個世紀末期才差不多發展完全。
在這期間還出現了量子隨機詮釋等相關的理論研究（但後來被數學家指出並不是完全正確的，只有滿足一些性質的薛丁格方程才能和SDE互相轉換）。數學理論上主要代表就是C*-Algebra之類的東西（別問我C*-Algebra業餘還在看）。
之前在知乎上也看到有人提問是否能夠像經典概率論解釋統計物理一樣去做量子物理呢？當然是可以的（但是這不會改變物理學家實際上所使用的各種物理工具），實際上有很多數學，物理學家都為其做出了重要的貢獻，其中不乏Von Neumann, Feynmann這樣的大家。我下面主要從K.
R. Parthasarathy的An Introduction to Quantum Stochastic Calculus簡要介紹一下這裡面的含義。我的數學背景不強，如果有不準確的地方還請指出。
在實際的量子物理試驗中，物理學家實際上永遠只能觀測到實數的觀測量（observable），這其中的具體機制有很多的爭論，例如量子坍縮，退相干等等，我們暫且不去糾結這些問題，首先看看我們手裡有什麼，在實驗裡能看到的這些觀測量有這樣一些性質：
每乙個可觀測量的觀測值（也就是某個實數）的行為和經典的實數隨機變數一樣，因此具有實數空間上的經典概率分布。（但是完整的物理算符並沒有經典的概率分布）
同時測量兩個不同的觀測量是幾乎不可能的（乙個觀測量可能會干涉並且破壞另乙個觀測量已經存在的資訊）。
有界的可觀測量組成了乙個線性空間。在這個線性空間中，相互干涉的元素向量和與觀測值的代數和表現不同。(兩個態相加和各自在某個算符上觀測量之和不同)
這些性質和實數空間中的隨機變數不同，所以需要去推廣原先的經典概率論到Hilbert空間裡去（相關的工具雖然我們已經用起來了，但是過去的數學定義還並不清晰）。
而在經典概率中，實際上我們可以將乙個在有限概率空間 有概率分布 的實值隨機變數的觀測值（期望）寫成如下的三種形式：
這裡 是對矩陣求跡，也就是對其對角元求和，對於經典的情況，這裡的 可以取任意角度（也就是任意實數）。實際上我想到這裡你已經可以發現想要從經典概率推廣到量子概率需要怎麼樣做了。而上面三種形式的第二種的左邊就是密度矩陣表示經典隨機變數的一種特殊情況，它預設包含了實數隨機變數所在的空間是乙個 維實數空間，並且其概率分布是非負的。
第三種形式就是使用複數所表示的量子態。這也是著名的Riesz表示定理的動機，這個wiki裡講的比較數學，用Dirac括號講是說，每個左向量都有對應的乙個右向量。
簡單來說量子概率就是允許上面第二種形式的左邊中非對角元可以是非零的複數的一種推廣，而這種推廣恰好是滿足量子力學的實驗觀測結果的特性的，在觀測後的值，表現也和乙個實數隨機變數無異。
而在這樣的意義下，我們得意將一些統計力學或者（經典）隨機分析中的方程帶入量子力學中，例如量子主方程，路徑積分（Feynmann的合作者Kac是隨機分析的大佬之一）等，他們都有各自對應的經典形式。而量子概率下的方差等實際上也和最高贊答案是不同的，其推導應當依照以上的推廣來進行。簡單的將其理解為二階矩雖然有一定道理，但可能還是有些不準確的。
順別一提，乙個純態對觀測量 的K階矩形式是書中的(4.4)也就是
這裡 是 的對角元， 是乙個么正算符， ， 是乙個純態。
PS. 目前暫時沒發現這套數學理論對物理這邊有啥用，去年時間用做tomography的時候嘗試應用一些這裡面的理論，但是後來發現數學上行不通...似乎即便是做測量，也用不上這些數學。
3樓：CosmicSymphony
1.因為波函式不可以而密度矩陣可以。首先波函式的物理意義是對系統的測量結果的概率描述。
但開放系統與環境糾纏，只有整個體系是純態，系統處於與環境的糾纏態，自己是個混合態，無法用純態波函式描述，所以就想用其他東西描述體系，而（約化）密度矩陣恰好就完備的描述了系統的所有測量性質。
2.從演化的角度，如果你只想也只能研究系統的演化而不關心複雜的環境的演化，上面說了此時波函式無法描述體系，可是薛丁格方程卻是波函式的演化方程。這時你有兩種做法，一種是解整個系統環境的薛丁格方程再約化到系統，但很多情況是你無法知道整個體系環境的波函式和哈密頓量的，這時做一些近似後，你就可以只研究系統密度矩陣的演化方程:
master equation。這裡就會體現系統演化的非么正性。
當然我個人覺得密度矩陣的物理測量意義其實是乙個有爭議的東西。波昂測量法則只是針對對純態投影，既然現在系統不是純態了，還怎麼賦予其測量意義呢？其實你去看約化密度矩陣的測量意義的證明就會發現，是建立在系統環境的測量量的基礎上，給出了系統局域測量量的分布，那麼我明明沒有對環境測量，怎麼就可以這樣用了呢？
彷彿環境遍歷了其所有可能的測量結果一般。這是我留下的問題。
4樓：YorkYoung
可能很多人沒想到，這個東西其實就是數理統計裡面的二階矩。
首先我們區分兩個概念：態矢空間和態空間。
態矢也就是我們說的Hilbert空間中的點，它描述了一種確定的量子態，在量子統計物理中我們稱之為純態。
但態矢和態並不是一一對應的，首先0不對應任何態，兩個共線的向量 與 描述的是同乙個態。所以態的空間實際上是Hilbert空間去掉0再商掉復平面去掉0得到的商空間。
一維態矢空間是復平面，態空間是乙個點，二維對應的態空間是二維復射影空間 ，n維就叫 。
實際上從概率論的角度看任何乙個混合態都可以用態空間中的乙個概率測度 來描述，這個時候密度矩陣（或者對於無窮維來說是密度算符）就是：
但是對於無窮維球面而言，這個並不好定義也不好算，能不能把這個態空間的概率 拓展到態矢空間去呢？
乙個比較麻煩的問題就是如果我們考慮 和復平面上的乙個概率測度的乘積測度來構造這個拓展測度，那麼復平面上的這個測度不可能是均勻的，否則會發散無法歸一化。退而求其次，我們要求
這樣,還是成立的，因為這樣徑向積分是被額外條件歸一的，而額外的整體相位由概率定義保證歸一，所以多出來的自由度的影響就被去掉了。這樣密度矩陣就和二階矩完全對應了起來。
容易發現：
而：這完全符合密度矩陣的定義。
當然我們還可以發現這麼乙個問題，兩個在態空間中不同的概率測度，可能能給出同乙個密度矩陣，因為二階矩並不能完全定義乙個概率（實際上，把1、2、3……各階矩全部給出才能確定乙個概率，因為他們可以合成這個概率的特徵函式）。
實際上，實驗可測的是某個物理量取值的概率，而並非某個量子態所取得的概率，考慮物理量 和它的本徵矢 ，那麼觀測乙個混合態，使物理量 取得值 的概率為：
因此密度矩陣已經可以完全描述實驗中測量任何物理量的隨機性，所以我們用密度矩陣而不是態空間中的概率去描述混合態就足夠了。
5樓：鄒益健
密度矩陣和態矢是對量子系統的兩種等價描述。它們的哲學傾向略有不同，但是數學上完全等價。
密度矩陣主要用來描述混合態。兩個密度矩陣相同的系統，在不考慮其它條件時是不可能通過實驗區分的。而相同的密度矩陣可以表示不同的態的混合。
這意味著「量子態」這個描述本身可能有冗餘的資訊，密度矩陣才是量子力學對態的描述。
在實用上，密度矩陣常常以約化密度矩陣的形式描述子系統。對於處於純態的系統來說，其子系統可以處於混合態。因此，在考慮非孤立系統的量子力學過程時，密度矩陣才是自然的描述，因為我們一般在實驗中不對環境進行準確的控制。
例如量子計算機中無處不在的退相干。
對於量子力學基礎熟悉的讀者可能會注意到以「密度矩陣」和「態矢」為基本量的描述分別對應於所謂「larger/smaller church description」。當然，由於我不是專家，還請多多指教。
下面這一段正確性有待商榷，請讀者暫時忽視。
【在本體論層面上，」密度矩陣描述」的量子力學並不承諾量子態是真實存在的。它們對量子態採用「psi-epistemic」的態度。也就是量子態是大量觀測的統計平均效應的一種描述。
最近一系列的工作傾向於是我們相信psi-epistemic和所謂ontological model framework是矛盾的，後者是指我們用乙個經典的概率遊戲來描述量子力學。這似乎預示著對量子系統的乙個純經典的描述是不可能的。從這個角度看，密度矩陣形式的量子力學更能彰顯量子力學的非經典性。】
6樓：
密度矩陣不過是描述系統狀態的乙個工具。不過它在很多物理場景下都可以給出好的詮釋。舉幾個例子：
1.在描述乙個復合系統的子系統時，如果我們不能確認子系統的波函式，我們可以通過對整個復合系統的波函式進行約化，得到所謂「約化密度矩陣」。它可以概率性地描述子系統的狀態。
（已經看到有相關的回答了）
2.基於上一條對密度矩陣的理解，密度矩陣可以用於描述糾纏。對兩個糾纏系統求出子系統的密度矩陣後，利用密度矩陣的匯出量（比如非零本徵值的數目與大小），可以對糾纏進行定性乃至定量的刻畫。
3.密度矩陣形式可以用於詮釋「測量」操作對應的物理過程。這一詮釋對解釋如「薛丁格的貓」之類問題的物理影象有很大幫助。
如果題主想要系統理解密度矩陣，可以參考曾謹言老師的《量子力學卷II》中相關章節。以上這些在該書中都有提及。
7樓：JoeC
密度矩陣描述乙個系統的狀態。
對於封閉系統來說，密度矩陣對系統狀態的描述和波函式是等價的。
對於開放系統則不同。考慮乙個與環境相互作用的開放系統。環境與系統組成乙個大的封閉系統。
原則上我們只要知道這個大系統的波函式，我們就知道了系統和環境的所有資訊。但通常環境的自由度太大，我們不可能知道大系統的全部資訊。這時候只能退而求其次，用一系列近似及求偏跡的方法，得到開放系統的約化密度矩陣。
通常，描述開放系統的約化密度矩陣對應於混合態，即密度矩陣不能表示為純態波函式的積，而只能表示成若干個純態密度矩陣以經典概率相加。這其中概率的出現，正源於我們無法了解關於環境的全部資訊。
總結一下，密度矩陣是一種用來描述開放系統狀態的方式。由於我們無法了解環境的全部資訊，我們只能用密度矩陣方法來描述開放系統。
以上是一點自己的理解。
矩陣轉置的幾何意義和物理意義是什麼？
黃遠輝 張量中的轉置對應兩個因果物理量的空間方向互逆性。我們舉胡克定律做例子，F kd，這是描述一維情況下，彈性材料的應變位移通過彈性係數作用的力的大小。此時k是無方向的標量。進入二維平面其實是 矩陣形式是 此時k是個2x2的矩陣。這是可能的，因為材料晶格和所選取的座標的相對旋轉角度，會造成實際處理...
正交矩陣的幾何意義是什麼？
我的理解是，左乘正交矩陣造成的空間變換是用乙個新空間代替原有空間，即用另一組正交基來描述被變換的向量，且不改變向量的長度和空間位置。比如固定向量不動，旋轉原座標系得到新的座標系，並用這個新座標系表述原向量。 Roger Rogers 正交矩陣是方塊矩陣，行向量和列向量皆為正交的單位向量。行向量皆為正...
為什麼密度矩陣會等於乙個矩陣的跡？
漏網之蟹 原文 https arxiv.org pdf 1611.0351 1.pdf 認同HelloFoucault的看法。這裡的跡是偏跡 partial trace 從總系統AB的密度矩陣到子系統A的約化密度矩陣 reduced density matrix 的乙個過程。Wiki有乙個圖很形象 ...