1樓：
搭過積木嗎？
不太可能用大結構描述小結構，用發雜結構描述簡單結構，即使能也不會這樣去做。
就歷史經驗來看，用複雜的理論來構造簡單的理論，用二級乃是更高階的理論構造一級理論，往往是吃力不討好和不切實際的。
所以我個人認為沒有這種可能性。
但是範疇論有潛力作為數學基礎，因為範疇論可以構造ZFC。
2樓：NeoX
單一「數學基礎」存在的可能性已經被哥德爾不完備定理給否定了。
HoTT其實不應該跟ZFC一起比，因為即使是用現在Coq的理論基礎 Extensional Type Theory (Intentional Type Theory + Equality on Reflection + Uniqueness of Identify Proofs)，你也可以實現ZFC.
跟ETT比，HoTT的好處是Freedom of Axiomatization (Bob Harper 語)，以及更少的assumption。
3樓：爆炸鐵鎚
補充：通過在HoTT中新增選擇公理（HoTT中的形式，詳見HoTT book第三章）ZFC是能夠被解釋到HoTT+AC中的。我們可以在HoTT中構造乙個歸納型別——The cumulative hierarchy of sets 和 上的二元關係 。
在假設選擇公理下， ZFC的公理都可以被解釋到中，即 是ZFC的乙個模型（HoTT Book，Theorem10.5.11）。
因此古典數學原則上也是可以在HoTT+AC中形式化的（可以參考HOTT book第十章），雖然新增像選擇公理這種非構造性原理會破壞HoTT的「可計算性質」，如強正規化。
我覺得很難。
1.無論範疇論也好還是型別論也好，它們都只是一部分數學（所謂「同倫數學」）的基礎。數學家對HoTT作為數學基礎的支援也是基於HoTT語言可以比較方便的描述這類數學物件（∞-groupoid）。
但是還有很多跟與「同倫數學」風格迥異的數學分支(比如分析和組合），這部分數學未必適合在HoTT裡形式化。
2.跟ZFC相比，HoTT的很多特性都不太像是乙個數學基礎，這點ZS Chen的回答裡有提到。HoTT是乙個比較結構化的語言，對於元數學來說不是乙個很好的環境，一些在ZFC裡很容易的事情在HoTT裡會變得非常複雜，比如如何在HoTT裡描述HoTT的模型?
3.Martin-lof型別論是構造主義數學的形式化理論之一，有大量的非構造性的，特別是不可數無窮的數學無法在Martin-lof中形式化，HoTT從語法上來說就是Martin-lof型別論+univalence公理+高階歸納型別（高階歸納型別本質上在普通歸納型別的基礎上加上path生成子，目前對如何在Martin-lof型別論中新增高階歸納型別還處在研究中）。新增univalence公理並不會增長Martin-lof型別論的證明論強度，因此，這些非構造的、不可數的數學同樣也無法在HoTT中形式化，並且有大量的在ZFC或二階算術中可證的算術命題無法在HoTT裡證明。
4樓：Ember Edison
作為乙個在數學哲學上的博愛主義者，我只能說HoTT的進展太慢了，說不定內模型計畫先完成了呢
（雖然我也真誠地相信整個數學都能被型別論化）
不過也沒辦法，Woodin太妖孽了啊
5樓：Anqur
翻 13、14 年的 HoTT blog 能感受到 Mike Shulman 野心是相當大的，open problems 裡頭咱最想知道誰能完成 VV 的夙願（simplicial types）（但現在沒啥人研究了）。不過參考阿冰的文章《看個頭》，數學基礎和數學還是兩門子事，可能大部分數學家們也不太 care……
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