1樓：柴斯基
為了寫清楚就囉嗦一點...
首先分析題主的問題。不定積分的無窮求和在數學上不是良定義的。這是因為乙個函式的原函式不是唯一的。
嚴格的講，如果空間 是所有存在原函式的函式構成的空間，空間 是所有函式構成的空間（這裡的函式就是實數到實數的函式），那麼對應關係 的原函式， 不是乙個函式。如果考慮 上的等價關係 ： mod 當且僅當 是常值函式，那麼 的原函式所在的等價類， 是乙個函式。
上的求和運算 是與等價關係相容的, 既如果 mod , mod R, 則有 mod 。 由此相容性可以匯出 上的求和運算， 。因此原函式的有限和是有定義的。
至於無窮求和（點點極限意義下）是不與該等價關係相容的，比如 , 顯然 mod , 但是 mod 。因此題主問題右端的式子沒有定義。其實翻看眾多教材，只會發現原函式的有限和，無窮和從來不會出現。
現在給出題主問題的嚴格表述。請給出乙個充分條件使得對任意
成立。這裡把不定積分換成上限可變的定積分實際上是把原函式取成在0點為0的函式，這樣的選取是唯一的，不存在良定義問題。另外由於題主考慮奇點的問題，上述積分為勒貝格積分而非黎曼積分，如果被積函式存在奇點，那麼在奇點處取值為0.
只要奇點數量為可數個就不影響積分的值。 值得注意的是即使是換成勒貝格積分，左端也不一定保證積分的存在性，所以我們還假設積分左端級數點點收斂且其勒貝格積分存在。
（單調收斂定理）給定一列非負單調增可測函式 ，則有
由此給出的充分條件是所有 。然後我們令 就可以得到結果。
（控制收斂定理）假設 幾乎處處收斂到 , 且存在可積函式 使得 , 則有（*）成立。
對於具體情況，題主可自行驗證上面給出的 是否能找到乙個可積函式控制住他。另外值得一提的是，控制收斂定理包含了前面高讚答主給出的在閉區間上一致收斂的情況，題主可嘗試證明。
最後說句題外話，大家碼字都不容易，來答題的人都是抱著好心來給題主解決問題。即使沒有寫出滿意的答案，題主最起碼也要尊重一下別人的成果，不要太刻薄。
2樓：予一人
Indeed，there exists a theorem that allows you to exchange the orders of the summation and the integration, which can be stated as follows.
Suppose that be continuous on and converges uniformly on that interval. Then
It's obvious that all the integrals emerging above exist, since the continuity of and its sum function. Note that where represents the remainder term. Therefore, in order to obtain it suffice to show
As per the uniform covergence of the series, for any and any 0," eeimg="1"/>there exists ( is related to only, and independent of ) such that when N." eeimg="1"/>Hence, for such it holds that which implies The proof is completed.
The theorem proposes a condition on which one can integrate termwise with respect to a series. Nevertheless, it is sufficient but not necessary. That's to say, some other series also can be operated like this, although they are not convergent uniformly.
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