1樓：
數學裡遇到最多的是：definition，lemma，theorem，proposition，corollary，axiom.
2樓：羅炫錦
首先提一下數學裡面稱作為"公理(Axiom)"的東西，比如構造自然數的Peano Axiom，比如構造歐幾里得幾何(幾何原本上最開始的公理系統)的最開始的十幾個還是二十幾個公理，比如"兩條直線要麼相交要麼平行"的平行線存在假設，或者如何定義"相等"，這些大多數是從生活經驗中抽象出來的。數學和物理在最開始的起點處，乙個稱之為"原理"乙個稱之為"公理"的東西，本質上似乎是相同的，只不過"原理"往往要比公理更複雜，原理(Principle)更注重推導的結果是否豐富，而公理(Axiom)僅僅為邏輯演繹提供起點。
物理上的原理(Principle)就是數學上的公理(Axiom)，雖然如前所述不一定非常簡單，有些原理本身相當於很多條公理，比如最小作用量原理，首先你得假定空間的存在，空間的幾個性質，以及如何在空間上定義函式等等，才能把泛函給定義出來。原理和公理一樣，無法被證明，只能被假定成立，也因此科學的發展出現大的突破總是以公理/原理被證偽的形式。但注意，數學上沒有Principle，只有Axiom。
定理(Theorem)則是通過邏輯，由原理或者公理推導出來的用途比較廣的，重要性很強的推論，一般的推論稱為Corollary，其實和定理本身屬性相同，只是重要性(應用範圍)差很多，一般只用於作為重要定理的證明中間過程存在著。
定律(Law)主要是一開始一些直接從經驗中總結出來的東西，一開始的角色其實和原理差不多，只不過形式更為具象，原理更為抽象。同時作為原理一般能夠推導出多條定律，比如最小作用量原理，既可以給出牛頓定律，也可以給出相對論下的運動方程，還可以給出麥克斯韋方程組。相對來說，如果完全是靠經驗總結而非邏輯歸納得到的命題，應該就只能叫做定律了。
雖然如果只學了牛頓力學就會覺得在牛頓力學裡牛頓定律是像原理一樣的存在，但牛頓定律相比於作用量原理確實是個經驗總結，同理還有克卜勒三定律，胡克定律等等，也是觀測出來的經驗公式。換句話說，稱為定律的命題意味著人們認為我們可能還有更好的理解方式或者還有更深刻的原理在裡面。
有個小插曲，就是有人說，"光速不變原理"明明是由實驗總結出來的，為什麼不叫光速不變定律？乙個明顯的原因是因為愛因斯坦發表狹義相對論的時候並沒有公認真空光速是常數，人們認為是測量有問題，所以愛因斯坦這個設定很巧妙，他直接稱之為Principle就可以避免和別人不必要的爭論，如果他說這是Law別人就會懟他，你這種說法不對，實驗還沒有確鑿的證據。再到後來，光速不變原理被融入進了"愛因斯坦相對性原理(Einstein relativiy principle)"，與之相對的是過去的"伽利略相對性原理(Galilean relativity principle)"，前者認為麥克斯韋方程組是滿足相對性原理的，因此光速不變；後者認為牛頓運動方程F=ma是滿足相對性原理的，但根據愛因斯坦相對性原理，牛頓定律的形式並不是洛倫茲不變的，需要以四維形式的運動變數替換掉三維運動變數。
因此，現在也沒必要再去提光速不變原理這個概念了。
規則(Rule)則是一些用於計算或者簡化計算的常規套路，它們本身並沒有多少意義，只是在漫長的理論推導過程中由於經常被用到，人們更願意記住它們而不是每次重複之前做過的同樣的步驟，相當於圍棋中的"定式"。
3樓：
事實上，在數學裡面，除了 theorem，其他幾個都很少用。。。
感覺上 law 比較偏向於一種公理化一點的運算性質？比如群的定義裡面有 associative law。。
rule感覺像是一些比較小的性質或者命題？比如微積分的 chain rule，leibniz rule。。
principle好像真沒見過。。（大概率是我孤陋寡聞吧
4樓：qfzklm
law 是指實驗總結規律，principle 是指未經實驗驗證而直接認定是正確的規律，類似公理，theorem 是指由規律經過邏輯推演而進一步得到的結論，rule則是指一些很有用的計算規律和技巧。。
命名這事兒，還是要結合當時的時代背景，在當時看來無解的principle或者實驗規律law，可能經過物理學和數學地進一步的發展，找到更加底層的principle或者law，進而被推演出啦，公升級為theorem，但是很多時候名稱依然沿用而被保留了下來。。
在各種各樣的theorem裡面，那些直接推論都是比較平凡的。。相比之下，那些no go theorem則顯得很不平凡。。
5樓：
據我的理解，
Law來自於實驗，理論上不一定有更深層次的解釋。可能就用於建立物理學理論了。
theorem和principle可以根據某物理學理論的基本假設推導而來。但有可能是實驗中先發現的。比如uncertainty principle。
rule也有可能是推導出來的，比如凝聚態物理、量子場論中的某些sum rule、Fermi Golden Rule。這些叫rule可能是可以用來快速的推測一些實驗結果？
更多的也不清楚了。希望這個小回答能起到拋磚引玉的作用。
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