1樓：C.Jie
微分流形的一些問題使用區域性座標後，可以把，很多情況下是把流形上的問題化成R^n上的問題，運用我們熟悉的分析技巧去處理。好處就是，能夠進行定量的計算，可以求偏導，可以積分，可以用分析學裡的那些各種不等式；對問題進行精細地分析
直到後來，才找到純拓撲方法證明的時候，這時候可以採用同調函子Hn,在拓撲空間X上，可以誘導出乙個Abel群Hn(X),並且Hn(D^(n+1))=0,H^n(S^n)不為0，另外也可以得到收縮D^(n+1)不能得到S^n，從而反證D^n→D^n上的連續函式一定會存在乙個不動點，從而證明了brouwer不動點!
另外我們把該定理推廣到無窮維，即Schauder不動點，banach空間的凸子集D,定義在D→D上的連續函式也一定會有不動點，因為是無窮維這時候還是必須依賴分析的技術，同理我們用乙個連續函式的序列去逼近，f-1D，序列中的連續函式都定義在D的有限維子空間上然後再用brouwer不動點去逼近，從而得到證明
很多問題當你一開始不是很清楚物件的結構時，傳統的那些很「柔」很「靈活」的方法可能會失效，而採用座標轉成分析問題後，好處就是能夠計算，能夠用各種分析工具做精細的分析，所以分析很多時候充當了探路者的角色，這些證明或者定理在後來可能在結構上有更深刻的認識後，有更簡潔的證明和表述，不需要繁瑣的計算，但最開始正是分析的這些計算提供了解決問題的可能性
雖然不依賴座標確實在形式上非常簡潔，美妙，而且流形上的許多大範圍性質也確實不依賴座標，但很多精細的問題依賴座標，或者說用區域性座標轉到R^n上可以使用分析方法，能更加精細地處理問題，所以沒必要排斥區域性座標和分析的方法
用一位我認識的，非常敬佩的數學上的長者的話說:「現代分析和古典分析最大的區別就是大範圍性質，對於古典分析由於背景空間是歐式的，拓撲比較平凡，在流形上做分析時，這時候便要考慮大範圍性質，由於流形的整體特性和函式奇異點的分布會影響積分，這樣不依賴區域性座標的拓撲學就成為了大範圍分析不可缺少的工具了，那麼怎麼研究這種大範圍性質，乙個很樸素的想法就是尋找這個流形的一些可加線性「元件」，使得乙個複雜流形可「線性化」，這就是所謂的同調，另一方面在流形上具有整體的對稱群，所謂李群結構，以李群表示為基礎則給出了經典Fourier分析的推廣，及調和分析，這樣遍可在整體流形上研究微分方程的幾何性質，這些基本上就是現代幾何中分析的基本思想出發點。」
所以，整體的和區域性的最好都要掌握，少了乙個角度便少了一種可能性，一時偷懶以後要用時可就慘了
2樓：汪湜
當年剛學黎曼幾何課的時候也有同樣的困惑，以至於我一度以為微分幾何沒有美感。後來研究中用到的微分幾何也全是無座標的，所以看到區域性座標就很頭疼，以至於我和做幾何分析的朋友聊微分幾何會因為使用語言習慣不同而吵起來。直到這個學期自己去教黎曼幾何，發現很多定義和計算在使用區域性座標後會方便很多！
所以很多東西的存在都是有道理的，暫時不理解它不妨先習慣它。引用John Von Neumann的一句名言：Young man, in mathematics you don't understand things.
You just get used to them.
3樓：
有很多分析裡面在Euclidean space上的基本結論，現在（in general）仍然不知道在流形上是否成立（也有可能是沒有找到好的formulation）。尤其是涉及nonlocal性質的，比如說跟cancellation有關的；E.g.
，對於奇異積分的Calderon—Zygmund estimates。（因此，global geometry絕不是用個partition of unity，把Euclidean結論拼起來就可以的。）
當然，differential geometers和geometric analysts本質上是不盡相同的：初學階段應該把這兩種感覺都好好培養吧：）
4樓：
不過我個人覺得使用區域性座標是一種初學者更容易上手的方式, 相對來說不使用區域性座標會使得證明變得需要一些技巧（畢竟把區域性座標寫出來就是微積分和線性代數, 算起來會習慣得多）. 比如嘗試不用區域性座標證明
dw(X, Y) = Xw(Y) - Yw(X) + w([X, Y]),
(L_X)w = d(i_X)w + (i_X)dw
應該都不是那麼平凡的事（反正我是要用區域性座標算的）. 相對來說用區域性座標計算有時候是更直接更簡單粗暴的辦法.
當然我覺得用不用區域性座標說到底是一種審美上的要求, 希望少用區域性座標是完全可以理解的, 實際上不少的微分流形和黎曼幾何教材也正是在更少地使用區域性座標的.
5樓：Sun Ao
使用區域性座標處理微分流形某種意義上來說和使用一組基來考慮線性空間是一樣的。能不能不用一組基向量來考慮線性空間？當然是可以的。
許多高等代數學花了大力氣就是為了告訴大家，矩陣很多時候並不是本質的，它代表的線性變換/二次型等等本身才是本質的。
但就像用具體的一組基來考慮代數問題一樣，具體的區域性座標有的時候能夠讓問題更加簡單清晰。這其實也反映在了不同的幾何學家處理的問題之中。研究geometric flow的時候，我們就是關心具體curvature是怎麼演化的，所以經常使用區域性座標進行計算；研究低維幾何的人，往往更加關心不同的幾何結構帶來的不變數，那麼整體的計算更利於他們把已知的結構和不變數推廣和抽象。
最經典的例子是gauge theory：當Taubes、Uhlenbeck等人研究self-dual connection的具體性質的時候，他們往往要在區域性進行計算，甚至在選取合適的座標系之外還要選取合適的gauge；但具體的self-dual connection的性質比較清楚之後，Donaldson研究self-dual connection的moduli space就不需要區域性計算了。
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