1樓：「已登出」
非常簡單。（最好詳細閱讀並具備基本的代數矩陣知識）
備註：這個數列的「解析延拓」我也用mma寫了一下（過程略，不外示），每一點都滿足L(x+1)=L(x)+1/L(x)，並且連續，可導（大概R去除點1均可微）。下文中我們所說的均是這種可「解析延拓「的數列通項是否擁有初等函式表示式。
請不要自己想象「我隨便構造乙個也可以連續可導」，不妨先去看看什麼是級數/函式的Uniqueness。關於非「解析延拓」的整數定義域內的數列，樓上已經有非常棒的構造法解決掉了（贊）。
L(x+1)=L(x)+1/L(x)
STEP 1
將a(n+1)=a(n)+1/a(n)寫成這樣的形式：
a(n+1)=f(a(n))，f(x)=x+1/x
概念引入：函式復合（Composition）指兩個函式相互巢狀，例如f(g(x))是f對g的左復合，類似於矩陣乘法。迭代（Iteration）指乙個函式對自己的復合，f(f(x))稱為f的2次迭代，類似於矩陣冪。
簡單閉合解(Elementary closed-form solution)即初等函式構成的，有固定形式的迭代解，固定形式指函式（遞推）方程等號只有一邊有f(x)。
於是a(n+1)=f(a(n))=f(f(a(n-1)))=....=f的n次迭代(a(1))，a(1)=1
該問題可以轉化為：f(x)的迭代是否有簡單閉合解？
STEP 2
記清楚這三條Theorem就好，如果看不懂，可以繞過STEP 2和3直接到底。
Theorem 1
若函式f(x)是一次函式與反比函式的復合，其迭代通常具有閉合解。在這裡一次函式指L(x)=kx+b (k≠0)，反比函式指R(x)=c/x。不難，自證。
Theorem 2
若函式f(x)是關於g(x)與h(x)的對角復合，且g或h具有迭代閉合解，則f也有閉合迭代解。對角復合相當於矩陣的對角化。不難，自證。
Theorem 3
若函式f的任意簡單復合均沒有閉合迭代解，則函式f不具有閉合簡單迭代解。這個就涉及到一丶丶群論，但是也不難，你怎麼用初等函式結合變換都不能出個閉合解說明你根本解不出來。
到這裡我們就可以大概明白了，若函式不能對角分解或復合而且有閉合的簡單迭代，它就必須是1次或-1次的。（強調一下次數問題，若還不明請繼續看下文）
STEP 3
有了這三條「Theorem」其實我們大概明白迭代的基本套路了，它相當於乙個環，在這個環上的乘法單位元是恒等變換，加法單位元是0，再稍微構思一下，不難發現，對於
f(x)=x+1/x
沒有簡單復合（初等函式）可以使f(x)擁有（唯一的）閉合迭代解。我可以隨意做變換（eg.）：
f(x)=g(h(x))，h(x)=x+1，g(t)=t/x
對於h沒有簡單閉合迭代（這裡也指連續可導的）解，所以不能。可以自己解一下a(n+1)=a(n)+1，按照STEP 1，只要這個有初等函式解，f就有五成機率有初等函式解。再來試試另一種變換，這次換個「對角」的：
f(x)=g(h(g^-1(x)))，g(x)=1/x，得到相似函式h(x)=x/(x+1)，這又是個（負）2次的，也沒有初等閉合嗷。
不論我選用怎樣的初等函式變換，f(x)=x+1/x都無法擁有閉合的且唯一的簡單迭代解（也就是次數一直為2，並且不能拆成「有初等函式構造的迭代的2次函式」的對角復合的形式），返回STEP 1，可知a(n)不具有初等函式構成的通項公式。
（這裡是底）其實就算沒有懂STEP 2在說些什麼，我們也可以知道，函式f(x)是沒有唯一逆函式的，逆函式又是函式的-1次迭代。你連-1次都寫不出，n次的就更別想了。當然，可以寫2 3 4 5次的，畢竟a(2)什麼的可以用遞推式直接得到。
這也就順便證明了a(n+1)=a(n)+1沒有初等函式構造的解（此處也指可「解析延拓」的連續解）。
對於a(n)，我們有能力和理論支援可以寫出a(n)的級數，也就是說函式f的迭代可解析延拓，這裡我不放出級數了，有能力的同學可以思考下。（a(n)為1/2次階）
謝絕槓精，槓精先動腦自己思考嗷。沒看懂就不要多bb。
2樓：
數列 ,, ,則 .
顯然只要證明 關於 的表示式： , 不是初等函式構成的就行.
觀察可知，
由上式可得，
令 ，則 0" eeimg="1"/>恆成立，由觀察可知，單調遞增，
所以 單調遞減，且有 .
又因為 ，所以有 .
結合前式得，
.所以我們考察不等式 ，
0,\exists N>0, \forall n >N, \left| \frac -\frac}\right |<\varepsilon" eeimg="1"/>
我們可以利用調和級數來做一些事情，
所以 易知
是不收斂的，
顯然可得 也是不收斂的.
顯然是收斂的.
令 或是
令 又有
p.s:
關於解題思路，先是做了展開，觀察 的結構，想做成乙個連分數的形式，但結構一時想不起來好的切入點，在這停滯了大約倆三個小時。
先這樣放著吧，等過段時間，有好的想法再做。
19.7.24
歲末重新回看了原來的過程，先做到這步，停在這先。
19.12.31
接下來要找方法考察數列了。
20.5.24
但畢業多年某些關鍵知識點忘記了，或是未曾涉及過，卡殼了，放在這裡等有了新的想法再說吧。
20.12.22
怎麼證明乙個不存在的東西不存在？
黃鴿子 巴門尼德原句，如果你能舉出乙個東西不存在，那麼它就存在於你的意識中，所以它還是存在的，結論就是你不能舉出乙個不存在的東西，這個結論歸於 人是萬物的尺度 KBA丶sad 我覺得 LXYZ 的回答說的已經非常好，但是我想到了乙個已經有的思想實驗。可能有些偏題，但我還是想嘗試去假設一下。思想實驗 ...
世界上不存在不存在的事物該怎麼理解
心行合一 不存在的事物可能並不存在 在這個宇宙中概率再小的事經過漫長的歲月都是必然的事，人定義的無論如何都不存在的事經過漫長的歲月也有可能成為必然。在無限時間的尺度上，好像並不存在不可能的事。只要這件事被提出被觀測到，那就是必然 pxyqz 唯一永存的物質。人是上帝的宿主，上帝是宿主眼中一絲光 片或...
證明 不存在R上的連續實函式，滿足f f x x 4 e x
Alex Julius 我就這個問題說一下什麼是抽象恆定表徵能力。右式蘊含了負，無窮大，極點處部分或全部嚴格遞減等特徵，左邊則蘊含了復合一次的連續對映，因此和單調性可以聯絡在一起，因此考察一下即應該可以匯出所有能夠匯出的性質了。 Jhon23 這不是我的數分期中考試題嗎？記得考前還有同學問了我乙個類...