1樓：SKWA
偽轉動Killing場與洛倫茲變換
我們知道，流形上的乙個Killing向量場可以給出乙個單參等度規群，而單參等度規群又可以自然地誘導出乙個座標變換，神奇的是，二維閔式空間中的偽轉動Killing場 誘導出的座標變換 恰好是狹義相對論中的洛倫茲變換。
2樓：天琴心弦
弱雞高中生一名，就提乙個比較簡單的。
求函式與座標軸形成的面積，和求過函式影象上一點的切線實際上是同乙個問題。當時覺得這兩個根本就沒有任何關聯。後來學了微積分才感嘆到數學的神奇之處。
3樓：
有限生成群上的簡單隨機游動速度大於0，等價於群上存在非常數、有界的調和函式。
有限生成群就是有乙個生成元集合，比如，每個元素都是生成元及其逆元素組成的字串，比如abacb。此外再加上一些等價關係，比如acb=bca。
有限生成群上的簡單隨機游動，就是每次等概率從生成元及其逆元素裡抽乙個，然後把這個元素加到字串末尾。
這個隨機游動的速度，即字串長度的期望除以時間，再取極限。
調和函式，是說函式在一點的取值，等於周圍各點取值的平均。
這個等價關係的證明很複雜，用到了entropy和Poisson boundary過渡，目前沒有直接的概率證法。
比如Z^n上的簡單隨機游動，t時刻與出發點的距離的期望是\sqrt量級，所以速度為0。於是Z^n上沒有非常數、有界的調和函式。
4樓：不連續的存在
緊流形上譜計數的估計最低是到O（λ^（(n-1)/2））神奇的是，如果緊流形上閉測地線足夠「少」那麼這個估計可以改成o（λ^（(n-1)/2））。。。不是很能想象Laplace運算元的譜竟然和緊流形上閉測地線有關。。。
5樓：AlexGrothendieck
谷山-志村猜想:有理數域上的橢圓曲線都對應著特定的模形式。懷爾斯證明了半穩定橢圓曲線的情形，就推出了費馬大定理(橢圓曲線和模形式);
魔群月光猜想:大魔群的最小忠實線性表示的維數和模形式中的j函式第乙個有意義的傅利葉係數只相差1，Borcherds證明魔群模通過魔群的不可約線性表示給出了j函式的全部傅利葉係數(有限群論和模形式);
瓊斯多項式:Vaughan Jones研究泛函分析的運算元代數時得到乙個新的扭結不變數(扭結理論和分析);
Donaldson理論:Donaldson研究規範場論時匯出一系列四維流形不變數，得到Donaldson對角化定理，揭示了四維空間可以存在相異的微分結構(規範場論和微分拓撲)
至於建立數學各個分支之間聯絡最活躍的當屬當今最熱門的Langlands綱領，數論的，代數幾何的，調和分析的，通通納入這個數學的大統一理論中去
6樓：牙牙
幼兒園學的0和1，六年級學的π，高一指數函式的e，高二數系拓展的i。
其中最無厘頭突兀出現的就是e。
最後竟都在乙個尤拉方程裡。
7樓：
偏題答乙個最近被科普的方向：algebraic statistics如何建立聯絡呢？可以參考以下這張表
來自https://
math.berkeley.edu/~bernd/sullivantbook.pdf
8樓：
寫乙個之前無意中在網上看到的，感覺挺有意思。
物件1：丟番圖逼近
給定無理數 ，考慮所有使不等式
對無限多個有理數 都成立的正實數 ，把這些 的上確界記作 。
現在面向所有無理數，把所有的 集合起來：。
物件2：丟番圖方程
考慮馬科夫方程
的所有正整數解 。只要某整數在解 中出現，那就稱它是馬科夫數。比如(1,2,5)是方程的一組解，那麼數字1、2、5都是馬科夫數。所有的馬科夫數構成集合 。
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9樓：汪湜
也來答乙個。
Mostow剛性定理是說，三維及以上的兩個閉雙曲流形如果同倫等價，那麼一定等距同構。也就是說這樣的拓撲流形上只存在一種雙曲結構。這個結論在二維的情形下是不對的，事實上，給定乙個虧格為 的可定向閉曲面，其上的所有雙曲結構構成的模空間（稱為Teichmuller空間）是6g-6維的。
2. 給定乙個跡為1的 正定矩陣A，當 時，我們有如下不等式：
其中等號成立當且僅當 .同樣的，這個結論在 的時候不成立。
Besson-Courtois-Gallot用2證明了1，當年讀完這個證明的時候，心情是複雜的。順便說一下，這個技術至少給我貢獻了三篇文章。
10樓：AfterPhilosophy
一. 如下三個研究物件在數學上是等價的：
(1) 賦有 Riemann 度量或者對稱 Finsler 度量的二維環面上的極小測地線；
(2) 二維環域上保面積單調扭轉對映的動力學行為，或者說二自由度 Hamilton 系統的 Poincare 對映；
(3) 描述一維有勢晶體的離散形式 Frenkel-Kontorova 模型。
事實上它們可以與極小軌道完全對應，寫成同乙個變分問題。詳見
AfterPhilosophy：單調扭轉對映的 Mather 集與環面上的極小測地線
二. 動力系統和度量幾何學之間的聯絡：Lagrange 力學與 Riemann 幾何；
齊次 Lagrange 系統和 Finsler-Lagrange 幾何；
非完整約束的 Lagrange 系統與 Sub-Riemannian 幾何。
Hamilton 系統和辛幾何；
Hamilton-Jacobi 方程，一階 PDEs 與切觸幾何。
三. 突變學與 Legendre 子流形的整體奇異性。
11樓：活潑的喵哥
先說第乙個。
Margulis算術定理說的是 不小於2的半單李群的不可約格仔群都是算數子群，也就是存在乙個算術結構使得這個子群是這個算術結構的整數點。
Margulis超剛性定理說的是對於乙個 不小於2的單代數群，其上的乙個格仔群的線形表示（作為抽象群的表示）可以擴張成整個代數群的表示。
這兩個定理看起來關係不大，乙個是關於數論的結果，乙個是動力系統中的剛性結果，是Mostow強剛性定理的乙個自然加強。Margulis卻用後乙個定理證明了前乙個定理。剛學這個定理的時候覺得很神奇。
另外乙個。
Oppenheim猜想說的是乙個非有理，非退化，非正定，至少三個變數的二次型在整點取值的集合的閉包包括0。
另乙個結論是在齊性空間 中，乙個 的軌道如果不是閉合的，就一定是稠密的。
這兩個結論看起來也沒有什麼關係，但是Margulis通過證明後乙個結論（其實他沒有證明後乙個結論，只是證明了乙個較弱的版本）來證明了Oppenheim猜想（當然，他證明了這種二次型在整點取值的集合是稠密的）。當然有後乙個結論可以推出前乙個結論是Raghunathan發現的。這個結論我剛聽說的時候也覺得挺神奇的。
當然這兩個例子的聯絡的建立都不是很難，也比較之間，可能算不上深刻的聯絡。
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