1樓：分析101
不一點為零。
先看回歸模型：，眾所周知，可以用OLS求解出，殘差為。
我們可以發現，中的每乙個列向量，與殘差都是正交的：
而中的每乙個列向量，其實就是總體回歸方程中的每乙個自變數。在帶有截距項的回歸方程中，的第一列為全是的向量，因此，才會有。
而如果回歸方程中不帶截距項，自然就沒有這樣的性質了。當然，在比較湊巧情況下，殘差和為零也是有可能出現的。
2樓：藍色天空藍
OLS estimator的公式本質上是由E(Xu)=0的約束條件推導得來的，其中X包括所有的解釋變數x1,x2,...xk,如果有截距項,則x1=1，那麼我們自然就有E(x1u)=E(u)=0這個約束了，如果沒有截距項，我們不能保證OLS誤差項均值為0.
3樓：StableGenius
首先給出線性回歸方程： 相應的最小二乘估計量為： 由此可以計算出模型的殘差項為：
模型殘差項的和為： 如果是沒有截距項的二元回歸模型的話，可以將回歸矩陣寫成向量 ，相應的殘差項之和為： 這個式子只有在 時才會成立，存在以下幾種情形時，該式還是會成立的：
所有的 取值均為同一常數，此時回歸元本身就充當了截距項的角色；
的取值是 的倍數，即回歸模型能夠完美地擬合樣本點，此時所有的殘差項均為0，相應的殘差項之和同樣為0；
其他我暫時沒有想到，但是符合上式的情形。
題主問的是模型的殘差項之和是否一定為零，其實只要舉乙個反例就可以了，我使用R語言構造了幾個例子，有的殘差項之和為零，有的殘差項之和不為零，具體內容見下圖。最終得出的結論是：模型殘差項之和不一定為零。
使用R語言做出來的幾個例項
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