證明魔方從還原態轉至還原態所需步數為偶數

1樓：陳霜

根據題主描述，我理解題主中對「一步」的定義為轉動某乙個面90度，而180度或中層轉動均視為兩步。那麼在這個意義下，「從還原態到還原態必然經過偶數次轉動」這一結論是正確的。

具體的證明過程並不麻煩。首先請答主閱讀 http://www.

rubik.com.cn/group.htm

中關於置換「奇偶性」的概念。根據其中的論述，我們很容易可以得到以下結論：

1. 奇置換×奇置換=偶置換×偶置換=偶置換，奇置換×偶置換=偶置換×奇置換=奇置換。

2. 每一步90度的轉動，對稜塊和角塊都是乙個奇置換。

從而我們有如下推論：

3. 任意乙個奇（偶）數步的轉動對稜塊和角塊都是乙個奇（偶）置換

我們拋開稜塊不看，就看角塊。對於初態（還原態）和末態（還原態），它們都是偶置換的狀態，從而任意從初態到末態的轉動序列一定是乙個偶置換（根據1）。從而根據3，這一轉動序列一定是由偶數次90度轉動組成的。證完

2樓：老杜

數學上定義步數的話，應該指原子操作，即邊上的某一面旋轉90，所以R2或者MR（中間那層順時針旋轉90）之類的操作，都應該算是2步。

任何乙個角塊，要回到原來的原來的位置（不考慮方向），都要經過偶數步。

同樣稜塊回到原位置也要偶數步。

（這兩個的嚴格證明也許需要數學大拿出馬了）所以魔方從復原狀態到復原狀態需要偶數步。

3樓：Isaac Pei

步數怎麼定義？如果是按照公式裡面的步驟，三稜換(PLL01: (R2 U)(R U R' U')(R' U')(R' U R'))公式需要11步，連續做三次就復原，那麼就不是偶數了，命題不成立。

如果步數按照每步90°，而且不算中層轉動的話，給出乙個簡單粗暴的證明：

魔方的六個面，上下左右前後，分別為U D L R F B

我們拿稜塊示範，稜塊有兩個面，不妨取兩個面來表示乙個稜塊，比如UR就指上面和右面交界處的稜塊。

首先普及一下旋轉，旋轉我們有12種，分別是U D L R F B 和U『 D』 L『 R』 F『 B』，是指某個面面對自己的時候順時針轉90°，帶「『」則是逆時針轉90°，比如我們做了F這個操作，UF塊移動到了RF的位置，注意是UF到RF，白色位置從U到了R。

如果是右圖到左圖就是做了F'

對於UR稜，我們可以做的旋轉有R/R'/U/U'，因為只有這四個操作能改變它的位置

那麼4個做法能把朝向變化成什麼呢？

R: UR -> BR

R': UR -> FR

U: UR -> UF

U': UR-> UB

這裡注意一點，就是U所指向的色塊在前面

這樣一直構造，就能畫乙個轉化圖，找到答案

為了簡化這裡用另一種表示：我們吧乙個色塊的朝向用數字表示，1表示朝向上或者下，2表示朝向左或者右，3表示朝向前或者後

那麼UR稜，就是12表示了:轉化變成了如下的樣子

R: UR -> BR 12 -> 32

R': UR -> FR 12 -> 32

U: UR -> UF 12 -> 13

U': UR -> UB 12 -> 13

其實完整的轉化就是(注意可以相互轉化的)

12 <-> 13 <-> 23 <-> 21 <-> 31 <-> 32 <-> 12

其實就是乙個六邊形，如果你從乙個點走若干步回到這個點，必定走偶數步

也就是說，對於魔方復原， 12必須回到12，那麼必須走偶數步

對於角塊應該也是類似的結論。

表達能力比較差，見諒。以上。