1樓：liu ren
圖論裡有乙個定理，平面圖必然有乙個頂點的度數（即引出幾條邊）小於6。
這個當然可以用尤拉公式證明。
我想要乙個幾何的直觀的證明，於是提問：可不可以不用尤拉公式。
大神回答：
把平面圖嵌入到球面，增加邊數使得全是三角形。
先計算邊數，按面計算與直接數（數兩遍）的結果一樣，於是3f=2e.
再考慮所有的頂點處角度之和：按頂點計算，角度之和是2pi v；按面計算，所有的面都是球面三角形，度數大於pi，故 2pi v > f pi, 2v > f.
所以6v>3f=2e。
再回到邊數的計算，如果所有的頂點的度數大於等於6，則 6v <= 2e。矛盾。
2樓：酒詩
最近看到的乙個。
證明：√2（n≥3）不是乙個有理數。
先假設√2（n≥3）是乙個有理數，則有√2=p/q（p，q為整數且互質）。兩邊同時取n次方則有2=p/q，可以得到2q=p，可以寫成q+q=p（n≥3），根據費馬大定理，x+y=z當n≥3時無解，因此假設不成立，證得√2（n≥3）不是乙個有理數。
實在讓我驚豔！
3樓：微笑的星靈
說乙個大學一開始就能接觸到的斯托爾茨定理（詳見菲赫金哥爾茨《微積分學教程》）：
設整序變數 ，並且至少是從某一項開始，在n增大時， 亦增大，即 y_" eeimg="1"/>,則 ,只需等式右邊的極限已知為存在。
證明方式為先設這極限為有限數l，然後構造恒等式 ，其中N為有限序號。由此易證該定理。
整個證明過程其實中規中矩，但這個恒等式是真的神了。
4樓：雲羽落
看這一題，兩邊同時除以根號S這一步真是精髓，加了之後解題思路直接變了。
巧妙求證
5樓：Bryant Lee
最典型的就是在不用算題的情況下，看一遍題找到關鍵資訊，例如二倍，一半等類似的關鍵字，直接鎖定答案存在兩倍關係的選項，根據大或者小就能鎖定正確答案。
這種方式真的很聰明，從出題人的角度來答問題，有時候真的能省去很多時間。
時隔五六年再去看高三的選擇題，發現其實不少能用到這種方法，雖然不精確，但是能快速鎖定兩個答案。
感覺這種方法真的是很聰明。
6樓：面壁者
反證法。稍加變通就成了歸謬法，生活中可以用於辯論/抬槓。
PS：反證法是用來證明乙個結論的，而歸謬法是用來反駁乙個結論的。這兩種方法都用到了矛盾律，但是反證法還用到了排中律。
7樓：
打算給 @秘匿封神 的回答寫點另解.. 感覺這些題目是自己出出來來自己做的..很多放縮都是知道恒等式了強塞的...
有沒有哪些數學題的某一步處理堪稱神來之筆？ - 秘匿封神的回答 - 知乎
有沒有哪些數學題的某一步處理堪稱神來之筆？
說點這些題不那麼technical的思路（可能也很技巧性吧..只是我自己想的所以就覺得比原來的自然些）..
第一題，先分母有理化，然後變成控制 後面乙個因數對根號作泰勒展開，可以證明（x<1/4）： ..帶回去，然後算出來的和是幾個Bernoulli number（正偶數處的zeta function的值），值都是知道的，而且結果也比原來的不等式好。
第二題直接證 的情況。兩邊取對數，記x=1/a<1/2，那麼要證：
兩邊作泰勒展開，然後根據次數合併（這些級數都絕對收斂，可以換序），然後兩邊都乘個-1：
到了這裡結果已經顯然了..右邊的 的係數至少是所有不大於指數的倒數和，大於左邊的係數...
第三題直接從第三項起積分比較..相應的要證的式子是：
稍微去下分母，alpha=1的時候是等式，兩邊求個導就證完了..
第四題，對於0，然後根據 求和是 , 求和是 ，分別減掉1，和右邊的除掉n-1的餘下的1+ln2比較就可以..而且我們這個得到的常數比原來強..
第五題，證n趨向於無窮的時候不等式成立（拿ln2/3 + 41/42和Euler常數比較），每步的增量右邊控制左邊，所以對所有有限的n也成立。
8樓：死理性派的vux
算術幾何平均值，看似只是普通的序列極限問題，卻需要用到定積分變數代換的知識，結合點極其詭異：
定積分變數代換本來就很難想了，後面跟算術幾何平均值的結合點更是不可思議。
出自《微積分學教程》，上面相當一部分題目都是很多經典分析課本完全不會涉及到的，有著跟平面歐氏幾何還有組合數學一樣的特徵——理論本身不難理解，但是由此衍生出的具體問題卻著實深刻，甚至需要意想不到的公升維處理。
由此同樣提名e是超越數的證明過程
9樓：諾特環上的素理想
拋磚引玉一下。
一、證明有限群的所有有限維復表示都是半單的時候，在表示 上構造了乙個 不變正定Hermite二次型 ，其中 是任意的乙個Hermite形式。這種「求平均」的思想在表示論中很常見，對於緊群， 只需要把求和改成Haar積分就行了。
二、交換代數的區域性化技巧的應用。在數論中，區域性化首先給出了Dedekind整環的另乙個等價定義，使得Dedekind環對素理想作區域性化後就產生了賦值，也就有賦值誘導出的拓撲。區域性化的技巧已經在數論中起到了不可替代的作用。
Dedekind整環的定義
隨便截了乙個利用區域性化技巧證明的數論命題
三、復分析中對Rouche定理的證明，構造了乙個只能取整數的連續函式，然後得出了結論，真的服的不行。
10樓：Tongria
文科生強答系列
放縮最牛，就是每次看答案都覺得編者真絕，有腦子真好！
高考數學選修題目不等式證明/微積分收斂發散/blala只有你想不到沒有放縮做不到！！
11樓：牛角
個人認為很多競賽題都是做之前一臉茫然，看到答案之後感覺醍醐灌頂，下面舉兩個例子：
第乙個例子如下：
設f在 上非負連續，嚴格單增，由第一積分中值定理可知，存在 ，使得 ，求
解法如下：
由f的嚴格單增性可知對 0(<\frac2)" eeimg="1"/>有 ,即
所以 當 N" eeimg="1"/>時有
\frac1\int_^bf^n(x)dx>\frac\epsilonf^n(b-\epsilon)>f^n(b-2\epsilon)" eeimg="1"/>
又由f的嚴格遞增性有 ，由夾逼定理即得
這個解法感覺不管是不等式的構造還是積分限的放縮都讓人覺得猶如天降
第二個例子題目和解法來自高等數學吧，侵刪，原題如下：
求 解法如下：
由Taylor公式可得：
可證得所以 由夾逼定理即得
個人覺得有兩點不易想到：一是第二個不等式的放縮，二是積分區間的縮小
12樓：
高次方程求根公式。
我們熟知，一元二次方程 配出完全平方即可求解：
(2)然而對於一元三次方程 ，這一思路便不適用，因為配出完全立方後會多出一含 項：
(3)當 時，上式無法用兩邊直接開立方的方式求解。
對這個問題的一步改進是，注意到如果令 ，那麼(3)式可以化簡成乙個沒有二次項的一元三次方程：
(3')
高潮來了：雖然上式依然不能兩邊開立方，但我們可以假定這個關於 的方程的解的結構是兩項之和，即令 ，代入上式得
強行令左右兩邊對應結構的係數相等得
所以 是一元二次方程 的兩根。由 ，再由 即可得到一元三次方程(3)的解
可以看出，除首項（平移項）外，一元三次方程解的結構確實是由兩項組成的，並且這兩項無法通過配立方的辦法得出。（有興趣的知友可以計算 ，看看會得到什麼東西） 至於解方程時是通過怎樣的洞見看出這一點的，恐怕只能歸結為靈感了2333。
ps: 三次方程的另外一種處理方式也比較神奇：對於(3')式，令 ，代入整理得 ，殊途同歸，又變成二次方程了。
13樓：趙一凡
教材原話：有些函式在初等函式裡面是積不出來的，比如e的-x次方，它無法寫出原函式。
通常認識裡面，排除小部分抖機靈的題（比如奇函式對稱性），大多數定積分，往往要寫出原函式再代入區間求解。
然而，反常積分∫e^(-x)dx，積分區域（0，＋∞），卻可以跳出一元積分慣常思路的限制，用二重積分求解。
高數課上唯一令人眼前一亮的題。
14樓：Alpha Mao
公升維法證Octavia角三角形的尤拉線
命題：銳角三角形ABC中，R，S，T分別為三角形的垂心，重心，外心，那麼RST三點共線且RS=2ST。
證明：建立空間直角座標系使得頂點
A(a,0,0)
B(0,b,0)
C(0,0,c)
分別在三個座標軸上
原點O(0,0,0)與三稜錐OABC的外接球球心H(a/2,b/2,c/2)的連線OH交平面ABC於三角形的重心S(a/3,b/3,c/3)，顯然向量OS=2SH
易證R和T分別是O和H在平面ABC上的投影，所以有向量RS=2ST
15樓：帥帥雞
無理數的無理數次方可能為有理數。
證明：若根號2的根號2次方為有理數，命題得證
若根號2的根號2次方為無理數，則取該無理數的根號2次方得2，2為有理數，命題得證
16樓：「已登出」
太多了。
比如最近看到的兩個《代數學方法》裡的：
以上兩個都是我邊散步邊突然就想通了的。
記得當時看初等數論的時候也經常震驚的直拍大腿，後來代數基本定理的劉維兒定理證明也很驚喜，實分析尤其以構造巧妙著稱，由於是課程內的，我就不說了吧（因為太多了）。
其它的一時間想不太起來了，想到了再補充吧。
17樓：千曜姻緣一線牽
以下是傳說中的純幾何吧578(TelvCohl小姐口中的小清新)這題很快被靜影沉璧巨神解決了(但是他在說了一句過兩天寫寫之後就消失了，我們仍未知道那天靜神的解答)。
於是這題變成了天坑……
閒置了一年後陸續有人給出解答，皆是複雜的，直到有一天蘿蔔神(金田一喲)搬運了T小姐本人的解答……
這神仙的一步四邊形相似，這誰看得出來啊
18樓：
本人拙作，不知可算神來之筆否？
利用平面幾何知識抄近道解解析幾何題 - 無語成讖的文章 - 知乎 https://zhuanlan /p/55205208
會做的數學題還有沒有必要聽評講？
高中數學教研 其實不用糾結最優解，因為即使你聽了更好的方法，下次也記不住，即使記住了，你依然會用你的老方法！關於聽不聽，我的建議是先自己修改，實在改不過來的做標記，只聽做標記的，但是你不聽去做後面的內容，也是沒有意義的，因為早晚都會做，別的同學也會做，那你不聽課又不別人多做了什麼嗎？並沒有！所以如果...
為什麼做過的數學題一點印象都沒有
小美良品 作為乙個大學畢業5年的理科生，我不願從學校的邏輯來解答。我從一點粗淺的大腦科學來說一下。人的大腦記憶量其實是非常巨大的，從你背誦課文這一點也印證了。比如你要記住回家的路，你要記住同學的長相，你要記住老師的喜好等等。但是大腦也不是無限量的。跟硬碟的道理差不多，只不過你的大腦更機智，他要學會篩...
有沒有可能讓AlphaGo在下每一步的時候說出這樣下的原因，以便人類繼承AI的學習成果？
Alex 當然有可能，只要我們能夠把神經網路學到的representation給factorize。Factorize，顧名思義就是分解的意思。比如用神經網路識別物體，假如能夠分解學到的表徵，比如把乙個車的表徵分解為輪子 車殼。模擬到圍棋，分解之後的表徵可能是對各個區域性的強弱考量 假設輸出是val...