1樓：有丘直方
經過簡單推導可知, 假設滿足題設條件的迴圈節緊接在 後, 則這個數的形式為 , 其中 是迴圈節長度的一半, .
題目描述中的 實際上是 .
2樓：PeaucellieRay
暫時發現了五種滿足的：
(i).分母（素數） 滿足 是模 的原根，i.e.
(ii).分母是 的，比如
(iii).分母是(i)中的冪的，比如
(iv). ，但沒成功推廣到其他形式的分母
(v).一些其他的例子，比如 ，可以找那些 的部分因數乘起來作為分母
另外，分母是上述五種情況的 倍的也滿足.（這是顯然的，因為 是 的因數）
注：我們發現其實(i)(iii)(iv)(v)都是(ii)的特例.(ii)要求的是10模分母q的階是個正偶數 ，符合該條件的任何有理數都可以表示成(ii)，下面的證明中，(iii)的證明用的就是這個辦法.
證明：
(i).
先考慮 .
我們知道， ，因此只可能有， ，也就是 ，即 .我們知道 ，也就是說 的小數部分是 ；而這個式子的含義就是將 的迴圈節「對折相加」，也就是說，這樣的 的迴圈節「對折相加」會得到 個 .
再考慮分母不是 的情況.
我們知道 構成 的完全剩餘系，因此將分子乘上任意乙個數之後的小數部分都可以寫成 的小數部分，這樣子迴圈節就輪換了.輪換之後，對折相加的性質自然得以儲存.
問題裡的 就是這種
(ii).
首先考慮級數
因此現在只需要證明 得到的那個數（通過新增首零的方式形成2k位）對折相加會得到 即可，其中 .
根據9的倍數的性質和 [1]的倍數的性質，有對折相加得99..9的性質.（這個證明就不難啦，關鍵是這裡的x是有範圍的）
(iii).
先去看一下我的update2，然後我們現在來證明這種情況的階是偶數.
給出乙個階的性質：如果 是素數， , ，有 或
證明：令 ，因為 是素數，所以我們只需要證明
第乙個，
第二個，只要證明 ，即
首先有比較上面兩個，
因此我們只需要證明
我們有 ，因此 ，因此 ，上式得證.
將這個性質運用在十進位制框架下，即 ，有
因為p滿足10是模p的原根，有 ，因此 ，得證
推廣
在著名的 裡，我們知道 .類似的，對於 的迴圈節 ，對它劃四刀，分成四個四位數，加起來是 ；劃八刀，分成八個二位數，加起來是 ； 的迴圈節 可以劃九刀，分成九個二位數，加起來是 ；甚至還有 的迴圈節 一共 位，劃 刀，加起來 ，可惜劃7刀加出來不太好看，是9和15873的倍數.但它們中的絕大多數都是 和 的倍數（k是劃分後的位數）.
這個性質似乎對其他不是1的分子也是成立的.
這個需要考慮的就是 作為分母的數的性質，這是和劃兩刀考慮 類似的.實際上，如果是滿足10是模p的原根的話，對p-1作因數分解 ，分解出的任意因數都可以作為劃分的次數，因為 ,後面的因式正是我們要去考慮的，也就是說我給出的關於p的推廣一定是成立的.
還有更離譜的東西：1/707迴圈節001414427157，分四份加起來999；
這是因為：10模707的階是12，
1/187的迴圈節0053475935828877，分兩份加起來是36363636...（這個問題後面的規律怎麼會那麼多的。。？？？？
這是什麼東西，不懂
另外上面的所有東西對於其他進製顯然也是成立的.
update：(ii)恰巧就是有丘直方的回答，那現在的問題是，如何證明(i)(iii)(iv)一定滿足(ii)的形式？
update2：經某個qq上的大神指點，只需要分母 滿足10模 的階 是個偶數即可，這一點和(ii)也是一致的.因此(i)(iv)都是歸於(ii)的，(iii)的證明即需要證明 時 是個偶數.
update3：解決了(iii)，將其歸入了(ii)；在開頭加入了注.
update4：解決了大部分推廣問題.
3樓：whitebob
沒有呀，因為你可以構造乙個不滿足這個規律迴圈小數，當然它也是有理數,算出來就好了。
0.1212121212...=4/33
有趣的問題倒是：滿足偶數迴圈節對折相加都得9的有理數，需要滿足什麼條件？
質數倒數迴圈節有什麼規律？
由費馬小定理，對質數p 除了2 5 有 10 p 1 mod p 1，顯然迴圈節長度必為p 1的因子或p 1。所以那幾條線的斜率就是1 1 2 1 3 這個問題看起來很難，但實際上中學知識就能解決。對於乙個質數m的倒數其迴圈節的長度一定不會超過分母 這個質數m 的大小。這個很好理解，餘數一定在 1,...
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小朋友dzy 答案是不存在的。首先，乙個分數的迴圈節位數是不可能超過分母的，這一點可以從位置原理方面證明，只要出現重複的數字，便有了迴圈節。而沒有最大的整數，這個問題等價於它，因此，沒有迴圈節最長的有理數。但是迴圈節可以任意長的 北方北方北 有限，無限可數，無限不可數，是三種概念。不存在迴圈節最長的...
無限迴圈小數的迴圈節長度是否可以取任意正整數值？如果可以，不同迴圈節長度的無限迴圈小數是否均勻分布？
三川啦啦啦 命題1 總存在迴圈節任意長的迴圈小數.證 定義乙個週期整數數列，對任意 滿足 是最小正週期 於是可以定義乙個 進製 迴圈小數 迴圈節長度為 的迴圈小數 下面我們構造迴圈節.是滿足以下條件的序列 0 eeimg 1 如此一來，這個序列內部不可能出現迴圈，因為 0 只出現了一次，於是 就是 ...