1樓：
自己寫過乙個 Shor 演算法的詳解，引個流：再思可矣：Shor 演算法詳解
Shor 演算法真正展示了量子演算法比經典演算法的強大——直接把「質因子分解問題」從經典演算法的指數複雜度降低到量子演算法的多項式複雜度，而且「質因子分解問題」關係著現在大部分密碼系統的安全問題。
當然 Shor 演算法的核心是量子 Fourier 變換。
據說 Kitaev 當年很妒忌 Shor，畢竟真正讓量子計算大放異彩的就是 Shor 演算法的提出！
2樓：Kyle Zhang
以目前的實驗手段能夠製造出來的量子計算機一般稱為
帶雜訊的中型量子計算機（Noisy Intermediate-Scale Quantum computer, NISQ），
擁有 量級的量子位元，並且無法排除雜訊的影響，量子線路的寬度和深度都受到嚴重的限制。
這導致一些著名的教科書上的量子演算法並不能在近期獲得實現。
如 量子相位估計演算法，以此為基礎的 Shor演算法、HHL 演算法；以及 Grover 演算法 等。
開發適用於 NISQ 時代的量子演算法實現 quantum advantage，是目前的熱點。
其中比較著名的是量子近似優化演算法（QAOA）。
QAOA 屬於 變分量子演算法（VQA） 的一種，常被用來解決一些組合優化問題。
QAOA 這個名字起得有一些空泛，直接看乙個例項更容易理解它。
QAOA 例項
最大割問題（MaxCut, NP-complete）：求給定圖的乙個分割，使得割到的邊數最多。
該圖論問題等價於求以該圖為 lattice 的 classical Ising model 基態的問題。
這是因為對於每乙個 Ising configuration， spin up/down 的邊界和圖的乙個分割一一對應。
哈密頓量可表示為 。
每乙個自旋構型的 值，恰好等於其對應分割割到的邊數（up to a minus sign）。
乙個直接的想法是絕熱演化 quantum transverse-field Ising model （TFI） 的基態（從強場極限到弱場極限）。
已知強場極限下模型及其基態為
我們可以構造乙個含時的哈密頓量連線
因此在絕熱近似成立的條件下，的基態可以表示為
為了方便在量子計算機上實施該演化，QAOA 選定了一條演化路徑
即交替作用 的演化算符
其中 。
乍看下這種交替作用的演化並不是一條連續的演化路徑，
甚至路徑兩端並不是從 ，不符合絕熱定理的要求。
但實際上這相當於在某一連續路徑上進一步地做了 Trotter 分解。
因此 QAOA 可以理解為Trotterized adiabatictransformation。
另外，以對應圖為 lattice 的橫場 Ising model 可能存在 gapless critical point。
對於這種情況，絕熱定理無法保證得到全域性最優解。
QAOA 利用經典的 optimizer 來優化 ，使得作為基態能量的損失函式
降到最低。最後在 Ising bases 上測量 ，測得頻率最大的乙個 Ising basis 作為問題的解。
QAOA 定義
總的來說，QAOA 就是
通過在已知的 基態上交替作用演化算符來獲得經典哈密頓量 基態的方法。
從這個意義上，QAOA 可以說是 變分量子本徵求解器（VQE） 的乙個子集。
因此也可以稱 QAOA = quantum alternating operator ansatz。
同時，由於任意乙個組合優化問題都可以對應乙個經典哈密頓量求基態的問題，故 QAOA 有時專指針對組合優化問題的求解方法。
QAOA 存在若干近似，並不能保證總是獲得全域性最優解。
但對於只需要較優解的大部分實際應用，QAOA 不失為在 NISQ 時代體現 quantum advantage 的一種演算法。
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