1樓：不可數凝聚點
若f一階可導有
f』（x）=1/（e^x-1）-f（x）-1/（e^x-1）^2
右邊則可以再求導，故f二階可導，如此往復即可
2樓：
隔壁有高人指出 ，恕我孤陋寡聞，第一次聽說.
查了一下，有如下的結果：
令上式中 ，就得到 的表示式.
由於 ，就是題主所述的補充定義過的函式. 而這個級數在 上一致收斂於 ，且 在上有連續的導數，故可對級數逐項求導.
冪級數的良好性質保證了 在 處有任意階導數，且這些導數不是別的，恰好就是 . 前20階導數如下：
以下是原答案.
這個問題蠻有趣的.
我猜想：假設初等函式 在區間 上有可數個可去間斷點，此外沒有其他間斷點. 通過補充定義的辦法定義所有這些間斷點的函式值，使之在 上成為連續函式 .
則 任意階可導. 這裡 可以為無窮. （哈哈，迅速被打臉，對數學必須要有敬畏之心）
給不出嚴謹的證明. 但是很直觀有沒有？下面這條曲線，怎麼看都是任意階可導的.
嗯，這條曲線就是 的影象. 分別為
感覺沒有幫助，抱歉(^_^)a