1樓：wzd
此問題條件不明確是無法解的，初始條件是什麼？即第一圈半徑是多少？
更嚴格來說這是等速螺線，也必須要有初始條件ρ＝ρ1＋10θ／2π
p1可取0，
多少圈就要算出θ值，很難的！
咱毛毛噪噪給個估計值
設中間一圈半徑為r，周長為2πrcm，
2πrn＝1000，n＝2r
得r＝80
r＝√80＝9，n＝18
18／5＝3.5分鐘。
2樓：蔣甬杭
設n圈，那麼最終半徑r=0.01*n，平均半徑是0.005*n，長度2π*0.
005*n*n=10，n=sqrt(1000/π）≈17.84，耗時t=17.84/5≈3.
57分鐘
設n圈，那麼最終半徑r=0.01*n，面積s=π*0.0001*n*n=10*0.01=0.1，後面一樣。
3樓：GeekOn
首先這個1分鐘5轉是蝸牛麼。真受不了。
再次這不是乙個等距螺旋線？阿基公尺德螺線？大學生以上直接用公式嘛。
所以結論就是，要麼中小學，要麼文科生？總之沒學過微積分。所以整那麼複雜的公式是耍流氓啊。
中小學生講究個已學知識的拓展應用。
所以應該是取近似圓圓相套的同心圓，同心圓間相差10mm，這東西不夠精確，但實際生活中近似精度足夠了。
所以就是算有幾個圓的問題，完了再除個5，求出需要幾分鐘而已。
L=10000mm=2*3.14*40+2*3.14*50+………=2*3.14*（40+50+60………）剩下的不用我算了吧。
當然了，如果是奧數題，競賽題，那就是另外的蹊蹺思路。比如截面積法，已經有人答過了。
4樓：
上面兩個答主似乎把轉速和角速度的單位搞混了。
另外附上我的解法：
當地毯開始卷時，半徑是離散變化的。顯然，捲到第 圈時的半徑為：
此時，已經捲過的地毯長度為：
顯然，當 時， ，當 時， 10" eeimg="1"/>因此，當卷到第15圈時，半徑為
第15圈卷過的圈數為
此時捲過的總圈數為
則總耗時為
另外，由於矩形到扇環的轉變，嚴格來說地毯將要被卷的那部分厚度是變化的，按實際情況需要考慮力學求解，參見答主 @終南葉 的圖。如果認為地毯只變形而面積保持不變，此時地毯的厚度可表示為：
那麼第 圈的半徑為：
後續再用之前的思路求解。
5樓：JennyVenus
我怎麼算出來3分鐘，怪了
現在大家算的結果終於跟我中學生解法一致了，我算出來14.28圈，14.28/5=2.8分多，一看其他答案，都是1000多秒，嚇得我閉嘴了。
6樓：
@Huxley 的結果是一種很好的演算法，相當於是按一層層的同心圓在卷，即卷完乙個整圓再卷另乙個，即半徑的變化是離散的，不能展示半徑的變化率，我來提供另乙個演算法，更直觀地展示半徑隨時間連續變化的過程。
有 左右同時對時間t求導，得
(1)同時，易考慮到每捲起2 角度，半徑增加h厚度，則等比例地捲起 角度時，有
(2)左右同時除以dt，得
(3)將(3)式代入(1)式，得
(4)可見，地毯捲起的加速度是常數，Huxley考慮的是從半徑為0開始卷，已經捲起40mm半徑，我下面算的時候考慮的是從40mm半徑開始卷，類似於衛生紙，中間有個空桶的捲紙的那種。
長度L=10m，初始速度 ，(注：原來是按照 計算的，實際應以中軸線處計算初速度）加速度a即(4)式等號右邊，解一元二次方程即可，即
解得t=166.80s（已排除負數解）（注：一開始算的1077秒是我把角速度的單位代錯了，代成了1/12rad/s，這裡感謝 @再也不看你乎了 ，確實是我的錯，憑直覺就在腦內完成了單位轉換）
至於題主關心的半徑隨時間變化，即為(3)式，也是乙個常數
分割為什麼我不按照從半徑為0開始算，
以上圖為例，彎曲的曲率半徑較大時，可以認為彎曲前後側面積不變，但是當曲率半徑極小時（我設想的第一圈是曲率半徑等於厚度），情況就非常複雜了，上側面壓應力為無窮大了（由一條線被壓成乙個點了）。
從材料力學上講，地毯根本不可能從0半徑開始卷，那樣的話材料內側面的壓應力會為無窮大，按照Huxley的近似同心圓處理，第乙個是實心圓，後面都是圓環，第乙個圓的半徑為10公釐，這時用了多少長度的地毯呢，按外周長來算用了62.8公釐長度的地毯，那它的側面積是628平方公釐，而這個圓的面積是314平方公釐，不過如果按照圓半徑的一半算地毯長度，面積倒是正好對得上，但是這就面臨我說的內側面壓應力無窮的問題了（內側面由31.4公釐壓成了0，外側面由31.
4拉成了62.8）
7樓：Huxley
按：卷地毯問題既是幾何問題，也是力學問題。從力學角度，本文各種解法均將地毯視作 Euler-Bernoulli 梁，也即引入了中軸線正交平截面假定。
在地毯厚度與長度之比時，這無疑是合理的。
1、卷地毯問題解法一（精細的等面積法）
記地毯長度 ，厚度 ，假設 ，中心留出半徑 的圓形中空，密實捲起，則地毯內、外兩側曲線的極座標方程：
內側曲線矢徑：
矢徑微分：
計算內側曲線轉過 角度掃過的微面積向量：
微面積大小：
據此計算內外側曲線掃過的面積之差：
積分：假定捲起前後地毯側面積不變：
解此二次方程得到總轉角：
2、卷地毯問題解法二（中軸線等長法）
寫出地毯中軸線極座標方程：
中軸線矢徑：
中軸線矢徑微分：
計算地毯中軸線微弧長：
假定捲起前後地毯中軸線長度不變：
即：籍此解得：
3、卷地毯問題解法三（基於近似同心圓假定等面積法）
將捲起的地毯視作同心圓，根據捲起前後側面積相等原則：
其中 表示中空部分的等效圈數，表示中空部分半徑， 表示實際等效圈數。整理得：
解出等效圈數：
那麼地毯轉過的總角度：
4、小結
考慮地毯內外側曲線真實形狀的等面積法和中軸線等長法是相對精細的解法，二者結果差別甚微：
簡單地將捲起的地毯視作同心圓，然後採用等面積原則的計算十分簡單，精度也只是略低：
這個事實說明，能抓住問題要點的近似演算法，往往可以極大簡化分析過程，同時精度也會令人相當滿意，這是工程思維的要義所在。
附錄：最初的解答
附錄A、不留中空的實心捲法（同心圓等面積假定）
記地毯長度 ，厚度 ，假設 ，密實卷成 圈，那麼根據等面積原則：
由此解得：
對於題主的問題， ，那麼：
附錄B、留中空的捲法（同心圓等面積假定）
看到樓下 @終南葉 基於運動學的辦法，覺得很好。為了對兩種辦法進行比較，這裡補充計算乙個中空捲起的情況。仍根據等面積原則：
解出等效圈數：
對比 @終南葉 的結果 ，看起來二者數值相同。然而這並沒有結束，實際上，本文基於同心圓等面積原則的計算方法，與@終南葉 基於運動學的辦法，在理論上居然也是完全一致的。為了看得清楚，寫出@終南葉 的時間方程：
令： ，立即得到：
可見它與本文的式（*）完全一致，這多少有點令人感到意外。
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