1樓：
數論裡的Tate's thesis。大大簡化了hecke關於L 函式的函式方程的複雜繁瑣的證明。引入了idele群上的調和分析方法，體現了區域性整體原則。
一切都是那麼完美。關鍵該方法能完整地推廣到高維的情況，也就有了後來的朗蘭茲綱領。
2樓：梁嘉誠
代數拓撲裡的零調模定理，這個定理太貼切樓主的問題了，像Kunneth定理，用零調的技巧 ，避開了構造繁複的鏈對映和鏈同倫，當時學懂以後真是激動了一陣子！
3樓：PHOBIA
Dominated convergence theorem
許多積分極限交換，積分求導交換的問題往往就是一句「控制收斂定理」。
4樓：李大壯
簡單點的導數(微分)或者拉格朗日乘數法，統一了一系列極值問題和不等式的求解。再延伸一點，變分法。
泰勒展開和傅利葉展開。解決了一堆近似求解及誤差分析，在工程應用中尤其廣泛。
直角座標系。把幾何問題代數化，好處顯而易見。
微分方程(微元法)。微分方程本身的建立簡化了很多實際問題的分析。
線性疊加原理。不管在數學上還是工程應用中解決大量問題。數學上解的結構。工程中激勵的疊加對應響應的疊加。
反證法。談不上是誰提出，但一旦使用可以瞬間解決一些正面難以構造解決的問題。
傅利葉變換，小波變換。工程中使用非常廣泛，不多說。
尤拉公式，融合了指數和三角函式關係，解決了一堆三角函式的化簡。而且可以有效解決帶三角函式微分方程啊。
中心極限定理。遇到搞不定的統計分布就往正態分佈上靠。
5樓：Wawawater
概率方法：
基本上就是建乙個random variable，然後可以比較容易的估計這個random variable的性質，期望，方差等等（一般都比較直接，不過有時候構造random variable比較巧妙），然後就可以推出性質了。但是大部分問題本身是並沒有概率或者隨機的東西在裡面。
舉個例子：Hardy-Ramanujan定理（n的prime factor有大概有log log n個）
Hardy和Ramanujan的原證明：http://
ramanujan.sirinudi.org/
Volumes/published/ram35.pdf
（太長了沒看...）
Turán給了乙個很簡潔的證明：Sign In
基本上就是建了乙個random variable ，從1到n之間隨機取乙個數，如果這個數可以被p除那麼；否則等於0。然後的期望大概是1/p（1到n之間大概有n/p個數可以被p整除）。然後sum over所有的小於n的質數p，就得到了log log n。
然後這個random variable的方差又比較小，根據Chebyshev不等式可以求出來，n的prime factor的個數集中在這個random variable(sum over所有的p)的期望附近，非常簡潔直接。
實際上概率方法已經滲透到了很多方面，我們假設隨機的做點什麼，然後估計一下這個值，非常powerful的方法，在組合學和理論計算裡面經常會用到。Erds發明的（至少Erds是最初的發明人之一並且意識到了這種方法的重要性，然後推廣了它）。
6樓：盧健龍
張量。舉兩個例子：
1. 當將一般化的斯托克斯公式（generalized Stokes' formula）分別應用於0-形式、1-形式、2-形式上時，便自然而然地得到了微積分基本定理、旋度定理、高斯散度定理。
2. 運用萊布尼茲規則（Leibniz rule）可以直接得到向量分析中的很多公式。
7樓：麥田捕手
哈密頓力學，矩陣，變分法，有限元分析，牛頓萊布尼茨，拉普拉斯變換，傅利葉變換，康托集合論，復變函式，保角變換，測度，冪級數(解微分方程)，笛卡爾解析幾何。至於乘法口訣，只能說你會算數，不能說你懂數學的
8樓：五百里
我來說個文科生看得懂的: 除法
除法在古代是非常繁瑣的,需要專業人員.中國曾設計過"算籌"來做乘除法.《神夏》裡提到過，稱為「蘇州碼子」。
後來發明了豎式除法，就人人能學會了。再後來牛頓發明了規範化了符號，就是今天小學教的那種。
但最簡便的還是分數上下不斷約分法。
9樓：子煦
物理學基本都是吧
但是我平時看的公式太多，一時間想不起來了…
現在能想到的，光與物質相互作用的基本公式就是忽略了高次項。但是隨著進一步學習，我們就有了一門不能忽略高次項的課程《非線性光學》…
10樓：
分形學。
即便是我們現在的計算機3D遊戲畫面，要是一筆一筆寫實去繪製背景，也會成為龐大到不可能完成的任務。有了分形學，可以用簡單多邊形生成複雜的環境背景。
又如手機天線，如果沒有分形學的應用，手機上就要頂出乙個大犄角。有了分形學，天線微縮成很小的一塊，完全內嵌在你的手機裡。
11樓：Levin
普朗特上世紀初提出的邊界層理論後，N-S方程才有了各種特定條件下的求解，於是流體力學才有了飛速發展。沒有邊界層理論，就沒有現代流體力學。
12樓：旁邊有只熊貓
波動光學中對光衍射積分公式的近似求解方法，當然進一步有傅利葉變換形式的衍射積分公式，對學理工科的來說傅利葉變換是一項重大的方法突破
13樓：
1、層的語言
最初神創造了向量叢。
乙個流形上每個點長了乙個向量空間，再配上區域性平凡的條件，這是乙個十分自然的概念。
每個流形都有切叢，和切叢上各種連續函子的像，Grassmannian上有典範叢等等。
然而向量叢不是個好東西，從範疇論的角度來看，向量叢的對映沒有核，所以不構成Abel範疇，不能很好地做上同調。
於是上個世紀四五十年代的時候，天上掉下來Leray，小Cartan，Serre幾個智商逆天的傢伙，世界上從此有了層和凝聚層的概念。
大致來說，層論的想法是把向量叢看作是它的區域性截面芽的空間，也就是說，流形上每個點長著一根莖，它由區域性截面空間商出來，兩個在考慮的點的乙個鄰域裡相等的截面被看做是等同的。
表面上看這沒有引入什麼新的東西，但這個概念可以很輕鬆地推廣成所謂的預層，所謂預層就是在流形的每個開集上結合乙個Abel群，並且滿足在限制對映下表現正常。但預層在一定意義上，只是乙個區域性的概念，更有用的是加上區域性截面和整體截面關係之後得到的層的概念。可以證明層的範疇是乙個Abel範疇，所以可以做同調。
無恥的分割線
現在我先假定你們都知道什麼是區域性戴環空間和凝聚層。
於是一堆古典的復代數幾何的東西都可以用層的語言講了。
比如奇異上同調就是常數層的上同調。
比如古典的上的典則線叢就變成了Serre扭曲層的對偶。
比如線性系統，就變成了乙個可逆層的截面空間的子空間。
比如說Picard群，就相當於
,除子群就是，於是除子對應線叢的古典構造就變成了下面的正合列誘導的連線同態.
類似的，線叢的陳類就變成了指數序列
誘導的連線同態.
古典的de Rham定理和Dolbeault-Serre定理變成了Poincare引理的簡單推論。
而Kahler流形上的Kodaira消失定理，Stein流形上的Cartan定理B這些結果直接蘊含了一些上同調障礙的消失，所以很多相關的問題都變得幾乎是顯然的了。比如說Kodaira嵌入定理。
當然，最重要的一點事，有了層我們才能談什麼是概型，這才是現代代數幾何的基礎。碼不動了，你們自己看GTM52去。
剩下的明天再碼
2.Friedrichs Molifier
3.Sobolev空間
14樓：
數學：用解析函式理論證明代數基本定理。
生物學：細胞學說，生物化學，演化論，中心法則（60年代提出，90年代完善）與分子生物學。測序技術和生物資訊學。
這些是解釋紛繁複雜的生物世界的核心理論與技術手段（技術的話是顯微技術，細胞工程，生化的技術，基因工程，測序技術）。要是沒有它們廣大生物狗學生物的主要內容就是只能到野外認動植物微生物，背長的要命的分類知識，解釋生命現象只能如亞里斯多德一樣靠肉眼觀察和YY。
15樓：
沒有人提笛卡爾座標系嗎？它把數目和圖形聯絡起來. 這是極其偉大的創造. 這個可能是人類知識裡為數不多的純思維的結果.
在我們的教材中, 它被一帶而過, 因為這東西太簡單了. 笛卡爾成了乙個數學工具的代名詞, 幾乎沒有中學數學老師會講到, 這是乙個多麼偉大的哲學家.
16樓：JoeFil
abstract index notation……
完全沒有任何新乾貨，但是真的極大地簡化了張量分析、微分幾何等等。。。現在每次讀具體指標寫的書都要膜一發Penrose……
17樓：
寫乙個抽象代數中的例子吧。
設 K/F 是域擴張，我們要證明 F 在 K 中的代數閉包構成乙個域，這等價於說明任取 K 中 F 的代數元 α, β 且 β≠0,
也是F的代數元。而乙個元素是代數元，當且僅當新增這個元素的單擴張是有限擴張。而注意到
從而只需證明 F(α, β)/F 是有限擴張。而由於
等價於證明
分別是兩次有限擴張。第乙個是顯然的，因為 α 是 F 中代數元。而 β 是 F 中代數元，因而在 F 的任一擴域中也是代數的，因為設 F'/F 是域擴張，
從而 β 在 F 中零化多項式在 F' 中也能零化 β。在這裡 F' = F(α)，從而第二次擴張也是有限的，從而證到了要證的結論。
如果不利用域擴張的話，似乎是需要用維達公式來構造？總之這樣是簡化了些問題。
18樓：chi wang
雖然不是自然科學，經濟學中也有這麼乙個案例：自從主觀效用提出以及邊際革命以來，古典經濟學（比如所謂馬克思主義政治經濟學）中的價值論就徹底被主流經濟學廢掉了；諸多由於「恆定價值」所引發各種「悖論」就徹底煙消雲散了；新古典主義的經濟學框架完成初步確立
19樓：nicolas
學習電力電子技術和計算機一會，發現計算機只能做加減法，和乘法。
學了乙個什麼公式以後，發現很多計算方式都能轉換成加法和乘法
20樓：十一太保念技校
ag.algebraic geometry 第乙個回答
個人覺得Riemann-Roch定理應該也算，把理解成尤拉數以後就順理成章了
21樓：
數學和自然科學中有哪些反直觀的內容？
D.Cold 相對論 狹義 很多時候被認為是只有高速運動的物體才會使用的的對物體運動的 修正 所以經常被認為是日常生活難以觀察的效應。但實際上相對論並不只有在力學上才適用，電磁學中磁力的本質實際上就是相對論效應，也就是為什麼麥克斯韋方程組在相對論後仍然正確。換句話說，我們平常用的耳機音響等其實就是相...
哪些書對你學習自然科學這類有嚴謹理論推導的學科有思維方法，思維方式方面的幫助？
如果提問者是大學生，那給你的答案是 看不懂就不看 只看自己能看懂的東西，並且以能看懂的東西為基礎，不斷擴充套件知識範圍。我高數也沒學好啊 但是這不妨礙我天天在實驗室做化學實驗。 結構主義 讓.皮亞傑 這本書看完之後我成為了乙個堅定的結構主義者，並且時刻打算吊死那幫解構主義法中國人 大誤 如果想進行邏...
最近二十幾年，自然科學領域有哪些常識或理論得到了修正？
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