1樓：長明君
從總體上看，耗散結構對於理解系統演化的前提條件有基本的重要性。
協同學闡述了子系統之間的競爭和協同推動系統從無序到有序的演化，總體上推動了我們對於系統自組織演化內部機制和動力的認識。
超迴圈論指出相互作用構成迴圈，提出了迴圈等級學說，從低階迴圈到高階迴圈，不同的迴圈層次與一定的發展水平相聯絡，揭示了系統的自組織演化發展採取了迴圈發展形式。
突變論與系統自組織演化的相變理論密切聯絡在一起，揭示原因連續的作用有可能導致結果的突然變化，揭示出相變的方式和途徑、相變的多樣性。
對混沌和分形的研究，使得我們對於系統自組織的複雜性、系統自組織的發展的整個過程有了更深刻的理解。
於是這些系統自組織理論使我們認識到，充分開放是系統自組織演化的前提條件，非線性相互作用是自組織系統演化的內在動力，漲落成為系統自組織演化的原初誘因，迴圈是系統自組織演化的組織形式，相變和分叉體現了系統自組織演化方式的多樣性，混沌和分形揭示了從簡單到複雜的系統自組織演化的圖景。
————————摘自魏巨集森、曾國屏《系統論——系統科學哲學》系統自組織原理一章清華大學出版社 2023年版第267頁
2樓：Cccyz
嗯……題主真的是簡單了解了一下就發問。希望你還是能夠初步了解一下再發問吧。非線性結構是數學上不成比例關係的元素的數學關係。
自組織是乙個系統組織方式。非線性引用到自組織裡面的作用就是告訴你自組織形成的條件是開放系統中元素的非線性關係，就是我們找不到元素之間的線性（比例）關係他才自組織。剩下的混沌分形突變等等等等就是目前提出的自組織系統中的一些理論吧。
既然已經在提問中知道系統是由理論構成的為什麼還要問關係……這不就是關係嗎。
來自乙個明天要考系統科學導論的少女的客戶端。
3樓：
不客氣地說一句，你基本上還停留在名詞黨的程度。後面回答的裡面也有名詞黨，比如說KPZ universality class是有特定含義的，指的是KPZ/fixed point of KPZ和GUE（隨機矩陣特徵值）、percolation（滲透模型？？）、還有一些隨機過程的continuum limit（不好意思不知道怎麼翻譯這個詞）之間的深刻聯絡，和混沌、分形什麼的實在不怎麼沾邊。
我假設你指的是數學上能夠嚴格證明出來的關係，而不是腦洞一開「啊，某某和某某一定有聯絡」。
首先非線性就是非線性，非線性不見得就有混沌，奇異吸引子什麼的。我們對線性方程，不管是常微分方程還是偏微分方程，基本上是有一套完整理論的，解的特性也比較好，但是如果是非線性方程，問題就很多了，解的特性可以簡單，但也可以非常非常複雜。
我們說的混沌，一般指的是有正的Lyapunov指數，也就是對初值敏感。當然這裡還有個隱含條件就是解是有界的，不然就亂套了。分形一般來說指的是非整數維的集合或者測度。
這裡我們有各種維數的定義，基本思路是估計這個集合在空間內填充的程度，比如前面有人貼的Hausdorff dimension, 還有boxing counting dimension, Renyi dimension什麼的。這兩個東西數學上的定義應該是比較清楚了，也比較淺顯，一般的本科生看看維基百科基本上都能懂。
但是就是這麼簡單的東西，你說他們之間到底有什麼關係？不好意思，真要證明起來還是挺困難的。你用MATLAB畫幾個奇異吸引子當然容易得很，看看形狀，扯扯「分形之美」當然也容易，但是你要說為什麼對初值敏感的系統，吸引子一般都是奇異的，非整數維的？
不好意思，其實不那麼容易。有個猜想叫做Kaplan-Yorke Conjecture，猜想Lyapunov指數和吸引子的維數滿足某些聯絡，懶得輸入公式，自己上網搜吧。這麼多年過去對這個猜想確實有一些部分的結果，但一直也證不出一般情況來。
如果你知道什麼是Smale Horseshoe的話你可以用Smale Horseshoe對著這個猜想驗證一下，驗證完了自然就知道了為什麼Lyapunov指數和分形的維數會產生這樣的聯絡。但是呢，產生混沌的機制其實是多種多樣的，Smale Horseshoe只是其中的一種，所以是不是所有的混沌系統都滿足這個關係，不好意思，不知道。
至於什麼耗散結構，自組織之類的東西，怎麼說呢，你要是從嚴格的數學角度考慮的話，近平衡態的非平衡統計力學都是問題一堆呢，這種遠離平衡態的情況只怕很難有什麼一般的數學結果，基本上只能停留在做做反應擴散方程的pattern formation這種層次上。炒炒概念，嘴上掛兩個名詞是一回事，真正滴水不漏地把東西證出來那是另一回事。比如就說近平衡態統計力學，有人能從經典力學（粒子的運動）推出Onsager倒易關係、最小熵產生之類的東西嗎？
沒有，恐怕可預見的時間內也沒人做的到。到現在為止能對熵產生、Onsager倒易關係之類東西有一點嚴格證明的都是一些簡單的不行的模型。
4樓：
自組織是指一類現象：即設定好了系統中局域的相互作用規則，乙個初始狀態混亂的系統就可以自動演化成有序的形態。它可以從數學意義上講，也可以實際的觀察到一些自然現象。
非線性系統可以具有自組織現象。比如純數學意義上的圖靈斑圖、現實中生物的生長、動物身上的體節，都是非線性系統的自組織現象。通常這樣的系統都是從外界攝取能量，以維持低熵的狀態。
混沌是三維及以上的非線性系統的動力學行為或其存在形式的一種。它指的只是兩個相鄰的軌道在相空間中隨著時間發展會很快速的互相遠離的現象。與之相比，對於一般的非線性體系而言，軌道往往會被其鄰近的吸引子」吸」過去或「排斥」走，因而在吸引子周邊的一塊相空間的區域內出發的相鄰的相點，它們的行為趨勢是一致的。
也可以有暫態混沌存在，即在乙個吸引子周圍繞了很多圈，有chaotic的行為，但最終還是跑到了其他的正常吸引子那裡。
分形指一種有自相似性的結構，不一定在非線性系統中才有。非線性中所說的分形一般指的是混沌系統中的吸引子（奇異吸引子）具有分形結構。
耗散結構理論指的是一種關於耗散系統的理論，這個系統是不在熱力學平衡態的開放系統，它不在熱力學平衡態即不滿足細緻平衡，其內部是有能量流動的。它可以通過與外界交換能量來維持穩定的動力學狀態。比如乙個需要從外界不斷吸收能量來維持乙個極限環這個吸引子存在的狀態的系統，就是個耗散結構，由此應該很容易想到生物的晝夜節律，或是細胞週期等自然現象。
研究耗散系統可以用到非線性動力學，但是耗散系統不全是非線性的。
超迴圈、突變論、協同論都是對複雜系統的研究，可以用到非線性框架內的手段。不過我沒做過這方面的具體研究，所以不敢妄談。
5樓：吳璽煜
樓主可以看看一本《複雜》的科普書
然後。。。。
然後就打住了。
直到你學會了概率論，圖論，離散，數學物理方法等，再回來（我也是這樣啊，共勉吧）