1樓：秋秋
橘子姜證的非常好，optional sampling theorem不適用的問題一般看stopping time時的expectation和0時的expectation就能解決。
2樓：
記the natural filtration generated by process 為 .
首先簡單分析一下過程 ,根據題設,對每個 , 只有在 時取1,在t取其他值時都有 .
1. 因為給定t, ,所以 a.s.. 而條件期望對於a.s.相同的隨機變數是不區分的,所以 ,從而 是鞅.
2.我並不認為 是相對於 的停時 ,因為 不是軌道連續的過程(見3).
這個論斷需要一些關於隨機過程停時的知識,暫按不表.
當然其實這個問題並不重要,因為 a.s.等於0,所以我們可以適當擴充filtration ,使得 在新的filtration下成為停時,並且 在新的filtration下仍然是鞅.
3.因為對每個 , ,所以 不等於0,所以這裡optional stopping theorem失效了.
失效的原因其實是沒有滿足定理的前提條件,因為連續時間情形的optional stopping theorem只能適用於軌道右連續的過程.
而注意到對每個 , 的軌道 在 處都不是右連續的,因此 並不是軌道右連續的過程,所以這裡肯定是不適用的.
請問這個科學嗎？
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