1樓：alphacalculus
同濟高數在對映概念後給出的乙個定義：
從實數集（或其子集） 到實數集 的對映通常稱為定義在 上的函式。
有些函式的定義域或值域，或者兩者都只是實數集的子集，這時候就不能用「實數集」這個詞，
改用「數集」，因為這個「數集」有它子集的名字或符號，比如整數集，區間 等。
同濟高數標準定義：
設數集 ，則稱對映 為定義在 上的函式。
套用第乙個定義，就是：實數集的子集 到實數集 的對映稱為定義在 上的函式。
後面依然使用實數集的原因，是因為函式的值域總在 內，函式之間的區別主要是函式的定義域和對應法則 ，所以在定義中繼續使用「實數集」。
在座標系內，數或有序數對 , 與點是一一對應的，所以數集也稱為點集。
2樓：阿列夫零
函式概念的定義是一直被人們所詬病的。我自己上高中的時候，我老師說函式必須是數集到數集間的對映。然而等我接觸的書多起來之後，我發現在有些書裡，「函式」和「對映」的概念是重疊的，可以同義替換；而有些書中，根本就不用對映，全部用函式替代。
類似的用詞還有「變換」，「對應」等；嚴格來說這些詞都是指代定義在的一種集合笛卡爾積上的滿足一點規則的「對應關係」，但是經不住不同人的理解有偏差，也沒有什麼人想正兒八經地規定一下，或者有人想做乙個通用的規定，但是大家都不理睬（類似的整理還有如：0是不是自然數）......我的建議是不要在這些概念的定義上糾纏太深，根據上下文理解作者的意思即可。
取 是為了是鄰域半徑充分小，想象一下以數列極限為圓心畫圓，半徑太大的圓會包括數軸的原點，只有半徑足夠小的時候，所有鄰域內的元素都在原點一側，符號都相同，這就是數列極限的保號性。（具體為什麼取這個值請仔細看書上的證明......）
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