1樓：半個馮博士
設兩個列向量：
它們的夾角記為:
=\mathbf ^T\mathbf =|\mathbf |*|\mathbf |*\cos \theta" eeimg="1"/>
這裡直接相乘就是普通矩陣乘法
它的幾何意義是：
在 上投影的長度乘以 的長度。（投影順序可以反過來）
它的行列式比較有意思：
表示由 兩個向量作為鄰邊對應的平行四邊形的面積。
在張量中它其實就是Kronecker積。 而當向量只有0和1時，它又叫楔形積。
對某個向量：
內積：
即是它的長度的平方。開方即得到其長度，或者叫模。
叉積：
注意，結果是零向量。這一點可以從它的行列式的幾何意義得出。也可以直接從定義推到（行列式具有完全相同的行或列則值為0）。
外積
這個就很有意思了，如果任給乙個向量 ，那麼在上的投影一定是： 。
具體證明看這個答案：https://www.
內積的應用高中一般就有，比如
求夾角：
求投影
這和外積定義下的投影是等價的。利用定義簡單推導就可以證明。
叉積一般在普通幾何上應用見得不多，但在物理學上應用很廣
就舉乙個例子，麥克斯韋方程組的微分形式：
這裡的前2個方程就是叉積形式給出的，並且有十分明確的物理意義。這個就不多解釋了。
普通物理學裡面經常用到的判斷方向的方法，其實本質上就是來自於叉積。
外積最多的應用主要還是在張量分析裡面，比如量子力學，流體力學。
我們常用的概念裡面用到的就是協方差，其實計算方式是完全一樣的：
比如自協方差：
它相當於向量： 和自己的外積。
為什麼向量叉乘是乘以正弦，而點乘是余弦呢
神魔協奏 我的理解就是，向量是線性對映，而能將向量線性地對映到R上的，稱為對偶向量，點乘實際上是就是向量與對偶向量的乘積，是乙個二重線性對映，但由於互為對偶，可以化為實數，也就是座標積之和。而叉乘則是兩個向量，它的結果所表示的意義也是乙個二重線性對映，但由於兩個向量都是同型別的，不能化為實數，它就是...
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