1樓：白楊樹
如果要算期望的話，那麼如之前的答主所說，用Markov chain就可以解決，但是從題主的描述來看的話，題主的問題應該是需要按鍵多少次才能遍歷所有的 個密碼組合。既然是這樣的話，我有乙個暴力的證明，就當拋磚引玉吧。（以下證明基本不需要任何數學背景）
先說結論：遍歷所有組合所需要的按鍵數目是 個。
證明如下，首先如果要遍歷 個數字的話，那麼顯然按鍵數目大於等於 ，3是因為得到第乙個數字前需要按3次。並且，我們還可以看出按鍵數目等於 每次按鍵得到的密碼不重複。
為了證起來方便點，我們分別考慮只能接受0的系統，只能接受0和1的系統和只能接受三個和四個數的兩個系統和。
為了讓我們的工作量少一點，我們在考慮系統的時候先無視掉只含有3個數字中的兩個的組合（比如0001和2112），因為它們的情況我們在系統裡已經考慮過了；同樣在考慮4個數字的系統的時候，我們把只含有4個中3個數字的組合無視掉。考慮的時候同理。
的情況是顯然的，只要按0000就能遍歷所有的密碼組合。
的情況我們考慮以下輸入順序：
0001,0011,0110,1101,1010,0101,1011,
0111,1111,1110,1100,1001,0010,0100,1000。
可以看到這組輸入得到的所有密碼都不重複，而且一共有 個，也就是說我們確實遍歷了所有的可能性。同時我們也可以注意到，這個順序可以組成乙個頭尾相接的迴圈，因為1000後面可以接上0000。
至於和，我們可以分別為這兩個系統找到如下組合（不要問我怎麼找的orz）：
的系統：
1102, 1022, 0221, 2210, 2100, 1002,
0021, 0212, 2120, 1202, 2021, 0210,
2101, 1012, 0122, 1220, 2201, 2011,
0112, 1120, 1200, 2001, 0012, 0121,
1210, 2102, 1020, 0201, 2012, 0120,
1201, 2010, 0102, 1021, 0211, 2110;
的系統：
0123, 1230, 2301, 3012;
1023, 0231, 2310, 3102;
1203, 2031, 0312, 3120;
2103, 1032, 0321, 3210;
1302, 3021, 0213, 2130;
1320, 3201, 2013, 0132;
注意到在上面的兩個系統中，雖然第乙個系統的序列確實是乙個36階的迴圈，但是由4個數字組成的系統只存在以上6個4階的迴圈，因為密碼輸入的方式限制了相鄰兩個數字的交換。同時我們還可以發現，每個4階迴圈都是可以插入到系統的序列當中的，比如第乙個4階迴圈是012起頭也是012結尾，能夠自然而然地放入的系統中任意的結尾為012的密碼後面，而不對接下來的序列造成任何影響。
除此之外，我們還可以發現，其實的系統也可以無縫進入的系統裡，比如可以嵌進0110和1101中間。
那我們現在有了這三個系統，但是有了又有什麼用呢？
在上面的三個系統裡，我們完全沒有用到那些數字的任何性質，所以那些數字是可以被任意的其它數字替代的。比如的系統可以被理解為任意三個不同數字的組合，的系統是任意四個不同數字的組合。
在這裡我們保留和系統裡的0和1，但是把2,3兩個數替換成兩個既不為1又不互相相等的數。通過上面的論證不難發現，通過插入的系統，我們可以構造出乙個由0001開頭，1000結尾的迴圈，而且這個迴圈裡不只沒有重複的密碼，還包含著所有的含有0和1的組合！
那問題又來了，0和1該怎麼辦呢？
我們試著把系統改成系統，則系統的序列從2210開頭0221結尾，然而這樣的話這個序列也可以嵌進系統中的比如0221和1220中間。
用同樣的論證我們可以把所有的和系統嵌入系統當中。
還剩下什麼沒有考慮到？剩下其餘的系統和系統。系統顯然可以嵌進系統的尾項和首項之間，所以我們只用看系統。
只考慮系統的時候，顯然系統能嵌入到系統的最後一組密碼1000和第一組密碼0001之間，而系統第一位是pppq，最後一位是qppp，又能嵌入到的0ppp和pppp之間。
當我們做完以上的所有嵌入工作之後，就得到了一組輸入數字的序列，而用這組輸入序列輸入的時候每次得到的密碼不重複。因此，按鍵數目等於 .
quod erat demonstrandum.
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