1樓：
已知 .
記 .其中，
由按行相加改為按列相加，第 列有 個 ，第 列有 個 ，……，第 列有 個 ，於是
代入 式得，解出
2樓：努力做個槓精
先寫一下三次求和，慢慢寫就會求出平方的和。
下面那個公式中就會消掉 這一項，從而求得
得 用這個相同的思想亦可以求 ,只是要先寫乙個 然後把他消掉即可，同理四次五次六次。。。。。。都可以求出來啦。
中間其實是排列組合，我當時學了排列組合之後想出來的，好像還沒有看見哪個大佬用這個方法吧？
3樓：南梔
不請自來
數學歸納法
我們先看這個式子代幾個數試試
n＝1 LHO＝1 RHO＝1
n＝2 LHO＝5 RHO＝5
我們發現上述兩個n的值在這個式子中是成立的所以，我們假設一直到n＝k時
1＾2＋2＾2＋3＾2＋……＋k＾2＝k（k＋1）（2k＋1）/6如果我們能夠證明在n＝k＋1時也符合此規律，那麼此命題便成立於是，1＾2＋2＾2＋……＋k＾2＋（k＋1）＾2＝k（k＋1）（2k＋1）／6＋（k＋1）＾2＝（k＋1）［（2k＾2＋k）／6＋k＋1］＝（k＋1）×（2k＾2＋7k＋6）／6
＝（k＋1）（k＋2）（2k＋3）／6
所以我們發現對於k＋1也滿足此規律
於是就能夠證明了
4樓：申強
那麼我來寫乙個和其他人不同的解析吧。
記S(n)為1^2+2^2+...+n^2。則有：
S(n)為n的3次多項式（廢話）。
S(0)=0→n|S(n)。
S(-1)=S(0)-0^2=0→(n+1)|S(n)。
對於任意正整數n，S(-n-1)=S(0)-0^2-1^2-...-n^2=-S(n)。因此，S(-n-1)+S(n)有無窮多個零點（所有正整數都是其零點），因此為零多項式。
故S(-1/2)=0→(2n+1)|S(n)。
因此S(n)=kn(n+1)(2n+1)，取n=1得k=1/6。
5樓：Eternal
如何求解1+2+3+……+n？ - Eternal的文章 - 知乎 https://
zhuanlan /p/196336032
正好有幾個方法可以證明
6樓：
求和 $S=\sum_ k^ .$$$\begin\text \quad \text a_=1, b_=k^(k=1,2, \cdots, n) \\\text S_=\sum_^ a_=k, b_-b_=k^-(k+1)^=-(2 k+1),\end$$由阿貝爾分部求和公式，得$$\beginS &=\sum_^ k^=\sum_^ a_ b_=S_ b_+\sum_^ S_\left(b_-b_\right) \\&=n \cdot n^-\sum_^ k(2 k+1)=n^-2 \sum_^ k^-\sum_^ k \\&=n^-2 S+2 n^-\frac\end$$移項，便可得$$S=\frac\left[n^+2 n^-\frac\right]=\frac$$
7樓：鬼谷劍聖
注意到1+4=5
1+4+9=14
1+4+9+16=30
1+4+9+16+25=55
1+4+9+16+25+36=91
那麼顯然
1+4+9+16+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
8樓：Roc Yeats
可以看一下潘承彪先生的證明：
截圖來自於：
無人能懂？由知名數學家潘承彪教授所寫的「無字天書」終於被發現，傳說能參悟它即可在數學江湖橫著走！
9樓：
就我的經歷而言，一般用到這個式子，都是在做題時的中間過程中遇到此類求和。在考場上，並不需要完全證明出這個式子，直接用就可以了。但問題是這些係數容易忘。
我這個回答針對的是如何快速得到後邊的係數。
針對形如 的求和形式，其通項公式可以由乙個 次多項式表述。我們只需選取幾項反推出這幾個係數就可以了。而且由微積分的性質，其最高次項的係數必為 ，而由於0項求和時為0，該多項式的常數項必為0。
針對該問題，設：
分別代入1,2，有：
易得 即原公式
10樓：yzyyyyy
n-（n-1）=3n-3n+1
（n-1）-（n-2）=3（n-1）-3（n-1）+11-0=3×1-3×1+1
對兩邊累加可得n=3（1+4+......+n）-3（1+2+.......+n)+n
將1+2+.....+n化為n（n+1）/2，然後進行因式分解即可證得原等式。
利用此方法，可以模擬推得1+2+.....+n的和，四次冪的和......n次冪的和，但會很麻煩。
11樓：steven
高斯對所有的自然數驗證了這個式子，所以它是對的。
Remark：高斯是從大到小驗證的。
不皮，這種問題最不需要動腦子的做法，就是數學歸納法了…
12樓：楊樹森
對於這種證明一列結論的情況，怎麼能不想到數學歸納法呢？
所謂數學歸納法，就是為了證明一列命題 只需證明 和對於任意正整數 成立 這種方法看上去有些抽象，但是非常基礎。
首先，計算可知
然後，對於正整數 假設
那麼計算可知
其實也可以用積分的方法觀察到這組等式的合理性。
利用微積分基本定理，計算得到
根據定義和可積性，可知
由此可以確定 是關於 的三次多項式，且三次項為這種方法，事實上會在一些問題中發揮作用，例如級數求和。
13樓：自學生
我用我發現的個人觀點看問題。都是（010+101=111）六份半徑時間統一週期（111*111*111=135531）1公尺空間尺度和1秒時間速度，的1公尺水立方質量物質重量，是1公尺的1千公釐*1公釐=1百萬公釐立方體的1公尺平方面，再*1千層面的1公尺立方體。（正中時間10向內/3*3向外=10核心時間）（1半+2對=3的一對的「半和對」）都是一對二進時間統一標準演算法的原理法則模型。
14樓：冒泡
我當初是設三次多項式的四個係數，解方程求得，然後反過來再數學歸納一下就ok了
不過當時認為平方的數列和結果是n的三次方只是直覺猜的
15樓：
佔坑我打賭這個辦法是最簡單的，小學生只要聽過高斯的故事，手頭又有積木能夠演示一下的話，很容易算出來（證明）
高斯的故事，1+2+3+4+5+...100=100*(100+1)/2=10100/2=5050
1+2+3+4+5+...n=n(n+1)/2
1+4+9+16+25+...n*n=
1+2*2+3*3+4*4+5*5+...+n*n=
1+2+3+4+5+...n+
0+2+3+4+5+...n+
0+0+3+4+5+...n+
0+0+0+4+5+...n+
0+0+0+0+5+...n+
0+0+0+0+0+...n=
1+2+3+4+5+...n+
1+2+3+4+5+...n+
1+2+3+4+5+...n+
1+2+3+4+5+...n+
1+2+3+4+5+...n——————以上等於n*n(n+1)/2=(3nnn+3nn)/6
減去1+
1+2+
1+2+3+
1+2+3+4+
1+2+3+4+5+
......
1+2+3+4+5+...(n-1)——————黑體等於(n-1)(n-1+1)(n-1+2)/6=(n-1)n(n+1)/6=(nn-n)(n+1)/6=(nnn-n)/6
所以1+4+9+16+25+...nn=
(3nnn+3nn)/6-(nnn-n)/6=
(2nnn+3nn+n)/6=
斜體可以用積木演示，手機打公式實在太嗨皮了，容有空後補吧
1，2，3，4，5……n
自然數列前n項的和為n(n+1)/2
1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5,……1+...n
自然數列累加一次數列，前n項的和為
16樓：Aries
我打賭這個證明方法是最簡單的：
證畢。補充一下，此處用了伸縮級數：
我再寫寫原題的推導吧。（推導和證明思路可不完全一樣歐～）由伸縮級數可得：
將此式左端展開：
所以再補充乙個花絮。
最初寫回答的時候，本想用真·求和的思路算，結果算到最後給消掉了……並且算出了乙個意外的驚喜：
以下是過程……
注意到右端第乙個級數：
第二個級數：
所以就這樣完美地消掉了……
17樓：張永康
上個初一競賽的證法:
把原式寫成圖1的三角數陣，顯然原式等於三角數陣中所有數之和，接下來把紙轉過來看，得到圖2和圖3
3個三角形中相同位置的3個數之和均為2n+1每個三角形中的數有n（n+1）/2 個
∴原式＝n（n+1)（2n+1）/6
18樓：一八一
∑（i+1）=∑i+3∑i+3∑i+n
（n+1）=1+3∑i+3n(n+1)/2+n∑i就可以求出來了
（話說這應該是更通行的解法吧）
19樓：塵月
直接點：
照顧一下有的同學可能不大習慣求和號的寫法，可以詳細點寫成這樣：
首先是：
然後有：
其中第乙個等號是構造的，第二個等號是利用了乘法分配律，第三個等號是消掉了對應項（用顏色標註出來了）
所以可以得到：
即為所求。
20樓：
1+4+9+25+36+…+n*n
=1*2 -1+ 2*3 -2+ 3*4 -3+ ... + n*(n+1) -n
= (1*2*3-0*1*2+2*3*4-1*2*3+...n*(n+1)*(n+2)-(n-1)*n*(n+1))/3-n(n+1)/2
= n(n+1)(n+2)/3-n(n+1)/2
如何準備日語N2 N1考試？
君莫笑 2016年7月份的日語等級考試馬上就要開始了，所以找到這篇文章，個人覺得還是很不錯的，希望可以幫助到想要學習日語的小夥伴。1 前兩個月 鞏固基礎。最開始的兩個月並不推薦大家直接就開始做真題，真題是很珍貴的資源，是能檢測自己水平比較有效的依據，在基礎不牢的時候就去盲目做真題只是浪費資源而已。那...
如何計算組合數C 2n,0 C 2n 1,1 C n 1,n 1 共n項的和？
我們令其中 很顯然，當 為正奇數時，我們有 當 為正偶數時，我們有 這說明對一切 有 這與斐波那契數列擁有相同的遞推公式 對於斐波那契數列 2 eeimg 1 來說通項公式為 注意到 那麼顯然 斐波那契數列是典型的二階齊次線性遞推數列，它的通項公式的推導詳見 斐波那契數列通項推導過程中憑什麼定理斷定...
如何評價2023年12月N1考試？
debussy 心態比較平穩。可能因為從n2那會就對漁業這個詞有印象，聽到的時候只覺得 啊啊這個果然來了 大家吐槽的特攝戰隊當然也跪了，選不出，算了，估計不會丟太多分。詞彙文法和閱讀難度還是一貫水準，部分閱讀題也是一如既往的膩歪，那種思維方式感覺這輩子也學不會。最後要吐槽一下河北師大的裝置，長達二十...