1樓：我心永恆
關於不連續的情況，舉乙個例子
它的函式影象如下
用之前的二階差分來算
而按定義算混合偏導
而這就是因為該函式的一階偏導和二階偏導在原點不連續造成的，這時候就有
這其實就是多重極限和累次極限不相等。
當然如果他們連續，我們就可以用拉格朗日定理證明這三個極限相等。
我更新一下，混合偏導相等實際上也等價於勢函式f(x,y)的梯度(P(x,y),Q(x,y))的旋度為零，也就是格林公式的特殊情況。
原答案：
二元函式可以和一元函式一樣幾何化，我仔細想了一下，重點在化曲為直，曲線段變成直線段，曲面變成平面。
如果z=f(x,y)，z值就構成了一張三維曲面。我們可以用一組極小間距的與xz平面或yz平面平行的曲線來近似，如下
曲面就由無數個微小的四邊形構成，當然每乙個四邊形的四個點一般不共平面。這樣近似之後，實際上就是立體幾何問題了。
全微分理解如下：
曲面上AB兩點的差值就可以用A點對x的偏導和對y的偏導表示出來，平面ACBE實際上就是曲面在A的切面，AC和AE就分別是切面與yz平面和xz平面的交線，也是曲面的切線。這和一元函式的導數等於切線斜率類似。
混合偏導理解如下：
如圖，ABCD是曲面上的四個點，構成乙個四邊形，當然可以把四條邊近似為直線，因為可以讓ABCD相距極近。算式中k是斜率，我們要算斜率的變化率，也就是混合偏導。
從圖中可以看出，先對x偏導再對y偏導就是線段AB的斜率變化到CD的斜率的變化率，如果AB和CD的斜率已知，那麼實際上這四個點就固定了，那麼，BD和AC的斜率也是確定的。這樣這個先x後y的混合偏導實際上也確定了先y後x的偏導，而且通過上圖求偏導的等式我們得出了兩者相等，而我們看到相等的實質就是ABCD四個點z座標值減法的交換，所以混合偏導的值與順序無關就類似於加法的交換律。
所以實際上就是乙個微小四邊形，對應兩邊錯位也就是不平行的程度，決定了另外兩邊錯位的程度，而且這兩個程度相等。
怎麼樣，清晰易懂吧，這比書上那個建構函式的證明好理解得多。當然我這個只能算理解，不能算嚴格的證明。
2樓：
這個證明大致分三步，先將二階導數寫成差分的格式，再「巧妙」地用中值定理，再用累次極限和二重極限的關係證明。偏導連續是很充分的條件，詳情參考數學分析的書。
附一段書上的注釋：早在尤拉和克萊羅（1740）就注意到混合導數的相等，並試圖去證明。然而第乙個嚴格的證明直到2023年才由施瓦茨給出。
3樓：doubt3
我們可以從混合偏導數的定義出發得到兩個累次極限（見圖三）。得到若要使這兩個混合偏導數相等，這必須使這兩個累次極限相等，即可以交換累次極限的極限順序。
圖一圖二給出混合偏導數的充分條件。也就是你所問的。圖一：圖二：
圖三：圖四：
4樓：智商稅
正如一階可微的多元函式在一點處的全導數，實際上是乙個線性對映一樣，二階可微的多元函式在一點處的二階全導數，實際上是一組二次型。
二次型的矩陣自然是對稱矩陣。對於只有一維因變數的多元函式，這個二次型的矩陣就叫做Hesse矩陣。
↑以上是暴論。因為本題要問的Clairaut定理的證明在主流教科書中頗為多見，所以我略去了復讀。只是希望從矩陣的角度拋磚引玉。
但是確實可以把梯度 理解維乙個行向量，然後向量值函式的向量值是列向量，這樣「一維因變數函式的二階全導數」是「一維因變數函式的梯度的轉置」這個向量值函式的梯度組——也就是乙個矩陣 ，而且滿足以下二次型的開啟方式。
用對映的語言說，是：
用矩陣的語言說，是：
上面的轉置是說：
5樓：Wednesday
從幾何意義上我來跟你闡述這個問題。
多維空間裡，如果寫成Y=F（X1，...Xn）的n元多維函式。
那麼F這一種對於多維n元函式的對映表徵了一種高維空間的表面幾何特性。
而混合偏導數，則代表了再n維空間裡，Y關於F的對映上，形成的一種幾何圖形表面切點的一種性質。
簡單來說，二元函式z=f（x，y）
表徵了一種三維空間的一種平面，那麼
（d^2）z/（dx*dy）就表明了在這張平面上某一點的切點性質。
乙個平明在被確定之後，那麼他的各個點的切點性質都會被確定（也可以說是曲率），所以改變求導次序都是在表明平面上一點的切點性質，但性質是不會變的，所以，交換求導次序，偏導數不會發生變化。
數學公式的推導，我就不贅述了，教材上已經說得很清楚了。
6樓：龔漫奇
這是乙個定理，你記你記住結論就可以了。結論就是先對x再對y導和先對y導再對x導結論，結果是一樣的。用乙個xy的多項式驗算一遍，你就會相信了。
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