1樓：路人甲
我也是正在申請，簡單說一下組合方向的吧。
MIT跟princeton都算是組合的傳統強校了。MIT代數組合一直很強，不過據一些教授說近些年沒有以前那麼強勢了，屬於跟Michigan不相上下的狀態，尤其是stanley最近還退休了。Princeton圖論一直是非常厲害（Noga Alon，Paul Seymour），不過純圖論似乎現在也不能算是主流了，純數方向做組合的大部分要麼跟代數沾點邊也就是代數組合，要麼跟分析沾點邊也就是Extremal Combinatorics。
Standford好像有不少教授在做極值組合，但是了解並不多。Chicago有兩個做跟組合相關的大牛，不過方向似乎都是比較偏theoretical cs的（complexity theory什麼的）。UCB本來也是個代數組合的強校，不過Lauren Williams去了哈佛，Bernd Strumfels據說大部分時間都在Max Planck Institute，就剩乙個Mark Haiman了，還不經常出現。
UCLA technically就Igor Pak乙個組合教授，不過他各個方向都做。哈佛本來一直沒有做組合的教授，現在Lauren Williams去了也不知道在那邊收不收學生。
2樓：
分析或幾何比較強的地方還有：UT Austin, UC Irvine, Columbia, Rutgers, Northwestern，Duke，等等。當然Toronto已經很好了，但其他地方也有很傑出的數學家。
3樓：Yuhang Liu
我只能給乙個粗略的方向，具體有什麼人我也不熟
哈佛：代數幾何，數論，辛幾何，數學物理，復幾何，等等
MIT：代數幾何，數論，表示論，辛幾何，幾何分析，組合，等等
普林斯頓：代數幾何，數論，幾何分析（Alice Chang, Paul Yang, Fernando Marques），辛幾何／拓撲（John Pardon），等等；普林數學系是個學術活動異常活躍、學術交流很頻繁的地方，他們每週的seminar數目比賓大多一倍——這還只算普林數學系自己的seminar，沒算IAS。
Stanford：代數幾何，幾何分析，這所我確實不太了解
NYU：分析／PDE，應數，概率，幾何分析（Gromov在那，但我不確定他在NYU待多長；林芳華好像也做過幾何測度論）
Chicago：代數拓撲，分析，幾何分析（Andrew Neves），動力系統，也不太了解
UCB：巨無霸數學系，應該說各個方向都比較全
UCLA：分析，數論
Boston University: 代數幾何，數論，離哈佛MIT近，學術交流比較便利
Stony Brook：數學物理，代數幾何，拓撲，幾何分析；Simons center在附近還是對學術交流很有幫助的
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