1樓：微塵-黃含馳
傅利葉變換對熱傳導方程求解有重要作用，它也可以用來求波動方程、拉普拉斯方程呢~（對老高老高維的偏微分方程，傅利葉變換才不怕呢，作用幾下導數變乘法，秒殺其他暴力血腥解）
1.熱傳導方程
方程兩端關於部分自變數作Fourier變換，匯出 滿足的ODE對初始條件作Fourier變換，給出 的初值這樣就得到乙個常微分方程的初值問題
求解該問題，得到 的表示式
求其Fourier逆變換，即得到 u
2.波動方程
3.拉普拉斯方程
4.其他高維方程
2樓：手推挖掘機
其實沒什麼用。
但是訊號與系統，數字訊號處理，音訊處理，影象處理這些和訊號相關的都沒法學了。
你問我為什麼知道，因為我不知道回頭看了多少遍。。。
3樓：馬思源
做電子學專業，和訊號關係密切，深切體會到頻譜圖，相位，等等都深深的用到了復變函式裡的虛數及相關計算。
比如時域訊號必須通過傅利葉變換到頻域，這是最基本的訊號分析比如計算反饋時電容電感會不會導致訊號相位平移180度讓負反饋變成正反饋導致系統崩潰
我和題主一樣，本科學的時候根本搞不懂什麼復變函式，線性代數，偏微分方程（我們叫數理方程）概率論以後有什麼用，等到讀研究生了發現這些東西就是常用工具，就跟學英語之於文獻閱讀一樣，沒有寸步難行
4樓：林安
學電氣的這門課必學，因為訊號與系統這門課全是用的拉普拉斯變換，電磁場這門課都是復函式，不學這個就沒辦法學習後面的課程了。
5樓：瀾瀾子
作為乙個文科生。。比較接受我爸跟我說的數學可以鍛鍊思維方式和邏輯。。
但是很明顯我的邏輯和思維都沒跟上。。
所以我高數期末掛了，補考掛了，重修勉強過了。題主加油啊。
6樓：DTSIo Shao
反對樓上 @陳一定
@lijun
@童哲等人的答案. 這些答案只是借助復分析解釋了一些看似不可思議的數學現象. 儘管這些解釋很漂亮, 但不能算是復分析的應用.
所謂"應用", 永遠都不可能那麼簡潔, 不論是之於數學本身還是其它學科的應用. 數學的妙處也就在於這種"不簡潔".
從題主的提問方式來看, 題主學習的是工科生的復變函式課程, 所以我略去(一點也不簡潔的)數學原理, 只講結果, 並且盡量貼近工程應用.
先說復變函式.
算定積分等等其實都只是留數定理(Cauchy定理)最簡單直接的用處. 比如說著名的Laplace積分:
往這個方向再多走幾步, 可以得到許多有用的東西, 例如估計引數積分的漸近表示式. 比較常見的例子有Bessel函式:
由Cauchy定理, 這個積分的圍道可以取成任何正向繞原點一周的Jordan曲線. 於是可以應用鞍點方法(Laplace方法)來得到積分當很大時的漸近表示式. 類似的思路在研究特殊函式的性質時很常用.
這些特殊函式往往都是從數學物理方程中來的.
參考書: 王竹溪, 郭敦仁《特殊函式概論》.
復變函式在物理和工程中最大的應用是處理數學物理方程中的平面邊值問題. 這是因為, 乙個復解析函式(全純函式)的實部和虛部滿足Cauchy-Riemann方程組, 而這一方程組恰巧就是平面向量場的無源和無旋條件. 因此借助全純函式可以描述很多理想化的平面向量場問題.
更重要的是, 全純函式作為平面區域之間的對映而言是保角(共形)的, 於是它保持Laplace方程不變. 於是復變函式在解平面Laplace方程的邊值問題時就顯得十分有用.
兩個例子:
1)水流. 考慮理想平面流體在割去線段的上半復平面的定常流動, 流體負無窮遠出發, 出發時的速度是且速度方向平行於實軸. 要求解在這區域上的流線方程.
邊界的形狀比較詭異. 但借助共形對映, 我們可以把區域變成上半平面. 再變回去就得到流線方程:
當跑遍所有正實數的時候, 上面的曲線方程就給出了所有的流線.
更著名的例子應該屬於Joukowsky(茹科夫斯基). 他借助復變函式方法首先研究了機翼截面的流體力學問題, 核心思想是借助Joukowsky函式將圓盤變成機翼截面.
2)溫度分布的邊值問題. 為了具體些, 假設是平面上一塊橢圓型的平板, 已知平衡狀態下邊界上溫度的分布, 要求解內部的溫度分布. 這翻譯成數學語言應當是如下的平面Laplace方程邊值問題:
在這裡邊界的形狀依舊非常詭異. 然而依舊借助Joukowsky變換, 我們還是可以解決這個問題. 實際上, Joukowsky變換將平面上的圓盤k)" eeimg="1"/>變成平面上以橢圓為邊界的橢圓盤.
圓盤上的邊值問題可以借助Poisson公式求解, 解完了之後復合上這個Joukowsky變換就可以得到原問題的解.
以上只是最簡單的例子. 更豐富的例子可以參考下面的書:
參考書: 拉夫連季耶夫, 沙巴特《復變函式論方法》.
然後說積分變換. 常見的(一維, 當然推廣到高維不會有本質的困難)積分變換如Fourier變換, Laplace變換, Melin變換等等, 涉及到的都是將直線上的乙個Borel測度變換成乙個函式. 因為積分之後Borel測度的"壞"性質往往可以抹掉, 所以它們的積分變換往往都具有更高的正則性.
同時根據簡單的唯一性定理, Borel測度同它們的積分變換是一一對應的, 所以就可以借助研究積分變換來反推測度本身的性質.
概率論中比較常用Fourier變換來刻畫直線上的概率測度. 在那裡, 人們管乙個概率測度的Fourier變換叫做它的特徵函式:
根據簡單的測度論知識, 一列概率測度弱收斂當且僅當它們的Fourier變換逐點收斂. 這個簡單的定理有極其豐富的應用, 例如概率論中著名的中心極限定理. 這個收斂定理也有各種各樣的推廣; 尤其是研究無窮維線性空間上的概率測度時, Fourier變換幾乎成了唯一一樣可用的工具.
Laplace變換和Fourier變換也常常用來解數學物理方程, 這是因為求微分在積分變換之後不過是對應於簡單的乘法. 例如熟悉的常係數方程
,經過Laplace變換之後大致就成了
, 其中常數由初始條件給定. 這樣的方程很容易解. 解出來之後借助反演就可以得到原來問題的解. 積分變換的常見工程應用同樣可見拉夫連季耶夫和沙巴特的《復變函式論方法》.
最後提一句數論上的應用. Melin變換在解析數論中有相當基本的地位. 借助Melin變換和Cauchy定理, 經過一些精細的不等式放縮, 可以得到不少數論函式的漸近表示式.
著名的素數定理
(代表不大於的素數的個數, 是自然對數)就是按照這個思路證明出來的. 可惜它跟工程問題沒什麼直接的關係, 所以在這裡就不說了.
7樓：南七一渣
這個影象就是該函式的模曲面，從實方向切過去，截面就是f（x）的影象，由於實方向或者說是一維空間的侷限性，只能看到這個影象一部分，但放到複數域來看，在+i,-i兩個點形成了兩個巨大的凸起，所以只能在原點為圓心，1為半徑的圓收斂。真特麼形象加震撼有木有！！！！！
還有乙個類似的例子，就是雙曲函式與三角函式的完美統一，從尤拉公式的角度來看完成了統一，從模曲面來看則同樣震撼：
沒錯，在實數域範圍內影象，表示式，性質完全不相干的兩個東西結果居然是乙個東西。。。。。。。
複數域是最為完整的乙個域，理論上可以解決所有問題，沒有再擴充數域的必要，本身也是很震撼有木有！
在複數域中，傅利葉級數與泰勒級數合二為一了，我看到這裡內心是崩潰的。。。。。
沒錯，你沒有看錯，就是這樣，實數域角度和長度（這裡長度可能用的不太貼切，但是我相信看了下面你們會懂得）是兩個完全不同的東西，可是在複數中，尤拉公式一用，立刻，角度和模長（長度）立刻就出現了，下面來解釋一下：
考慮乙個復函式，，記
所以有 把其中乙個看做參變數，比如，讓z沿著為一固定值的方向運動，則函式的自變數僅為，例如讓=，則有：
若半徑為固定值的時候，只沿著某半徑旋轉，則有：
有點門道了有木有，有木有有木有有沒有！！！！
表急，我們要求的是嚴格，慢慢來：
我們把泰勒展開，有：
先固定的值，假如說是，可以得到泰勒級數：
再固定r的值，1/2，可以得到：
利用上式，直接得到積分值：
傅利葉級數係數的簡單計算而已（逃。
然後，你要想，泰勒級數的係數怎麼求的，求導是吧，在想一下傅利葉級數的係數怎麼求的，積分是吧，但是這兩個級數是同乙個東西，臥槽： 沒錯，柯西積分公式和高階導數出來了： 積分和求導完美發生了關係！！！！！
8樓：
總結一下，應該有如下用處：
1. 留數定理計算定積分，這個方法非常重要，很多定積分用普通的微積分方法很難，或者不可能，計算出來，但是用留數定理計算就非常方便。留數定理給計算定積分或者無窮求和提供了乙個具有高度可操作性的方案。
2. 傅利葉變換。這是乙個具有重要意義的變換。
很多微分方程，包括常微分和偏微分，在實空間求解非常困難，但是一旦用了傅利葉變換將方程變形到頻率空間或者動量空間，很多問題都迎刃而解了。傅利葉變換的應用極其廣泛，在數學和物理中都有著重要的地位。光是乙個傅利葉變換就可以寫一本厚厚的教材了。
3. 拉普拉斯變換。拉普拉斯變換本質上是傅利葉變換的一種變形，而且拉普拉斯變換的反演就是通過傅利葉變換實現的。
拉普拉斯變換解決微分方程的初值問題特別有效。所以拉普拉斯變換在訊號處理，電路系統中都有著極為廣泛的應用。
以上只是本科水平的復變函式與積分變換。復變函式本身就是乙個學科，積分變換也不限於傅利葉變換和拉普拉斯變換，例如還有Mellin變換，Hankel變換，Hilbert 變換等等。如果要學習進一步的課程，例如數學物理方法，特殊函式，量子力學，量子場論，量子多體理論，你就會發現復變函式和積分變換幾乎上充斥了以上這些學科。
工科裡面的流體力學，彈性力學，振動力學，自動控制等課程也到處都是復變函式和積分變換的身影。總之，這是乙個極其有用的學科，學好了這門課對將來的深造必然有極大的促進作用。
復變函式的積分
小白 無論是怎樣的結局，那都是你一段美好 夾雜酸甜苦辣 的過往，難道你不期待朝花夕拾嘛，難道你不想在兒孫簇膝的時候有故事可以講嘛，難道你想要忘記那個曾經給你心動感覺的ta嘛，所謂痛苦只是暫時的 益 你沒有發現嘛，越是痛，越能讓你感覺到在活著，越能讓你溫柔對待這個世界。記得大魚海棠裡講過 所以，抬頭平...
復變函式如何理解（或學習）？
嗡嗡 整理好完整的學習筆記在小紅書上啦，是根據b站上吳崇試老師的網課進行學習整理的，認真聽課複習 各型別題目的練習應該是學好每個科目的辦法。如有筆記需要請通過下列鏈結獲取喲 如果微積分學的比較好的話，我感覺復變函式至少一半是不用擔心的，微積分的四個矛盾 https www.及其性質 轉化在復變裡也有...
電氣工程及其自動化專業學習復變函式課程有什麼用？
電氣專業對數學的要求比較高，如果你數學學得好，後面專業課學起來會變得高效且輕鬆，你會發現不少專業課其實就是數學的工程應用 楊永超 交流電都是用復變函式和向量描述的。是一門工具課。電學和高深的控制理論還要用拉氏變換以及傅利葉變換等，你覺得數學難，到後面用數學去描述和解決實際問題的時候就會感覺數學真他媽...