1樓：鄧文濤
其實這個問題我粗淺的理解可以這麼想，比如先考慮n=1，不可逆就是0，n=2，不可逆等價於行列式等於0，這樣想會不會簡單一些…
2樓：
大概給乙個想法。
如果乙個n*n的矩陣行列式等於0。那麼我們把右下角的元素作為乙個變數，那麼其它的元素隨意給出，這個變數至多只有乙個解。所以矩陣不可逆的維數應該是小於n*n-1的。
3樓：yuyu
補充一下 Yuhang Liu 的回答， 假設考慮的是的實矩陣，那麼
基數：可逆矩陣和不可逆矩陣的基數都是連續基數，這容易看出。
測度：矩陣不可逆當且僅當行列式，因此不可逆矩陣是乙個非零多項式的零點集，而從到的非零多項式的零點集測度為零，這可以用歸納法證明。細節請見：http://
www1.uwindsor.ca/math/sites/uwindsor.ca.math/files/05-03.pdf
。因此在中，不可逆矩陣集合的測度為零。
拓撲：由於函式是連續的，因此是閉的，因此不可逆矩陣集合是中的閉集，我們還可以說它是無處稠密的。要證明這一點，只要說明可逆矩陣集合在中是稠密的，對於每個矩陣，考慮矩陣，就是的特徵多項式，它只有有限多個零點，因此對於每個0" eeimg="1"/>，存在使得可逆，於是是可逆矩陣序列的極限，這就說明可逆矩陣集合在中是稠密的。
4樓：王元龍
不嚴格地說，「奇異」二字本身就暗示著此類矩陣很特殊，即相對少唄。
這種問題我一般都這樣不嚴格地考慮：假設乙個n階矩陣A的除了之外的所有元素都固定。那麼考慮從負無窮連續變化到正無窮的過程中，A的行列式也會相應變化，什麼時候行列式變成0了？
注意行列式是個關於的1次多項式，有1個根。也就是說，從負無窮變到正無窮這無限多個取值中，只有1個取值能夠讓A是奇異陣，剩下無窮多個取值都會導致A非奇異。所以非奇異陣要遠多於奇異陣。
5樓：Yuhang Liu
從集合的勢的角度來說，一樣多。
從拓撲的角度說，可逆矩陣全體是n^2維線性空間中的稠密開集，不可逆矩陣全體則是無處稠密的閉集，所以前者「更大」。
從測度論的角度說，不可逆矩陣全體是n^2維Lebesgue測度下的零測集，所以也更小。
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