1樓：飄然而去
這是乙個很常見的錯誤。
在使用均值不等式時，必須保證得到的最小值是定值，而不是乙個含變數的式子。
這道題其實包含了兩處取等：一處是ab的最小值；一處是a^2+9*b^2的最小值。你僅僅保證後乙個最小值是6ab，但6ab並不能在a=3b處取得最小值。
可能存在一組a，b，使得a^2+9*b^2>6ab，但此時的ab比之前的更小，那麼最後的結果也有可能更小。
因此，在這種情況下，均值不等式不適用，我們可以考慮一下柯西不等式：
【a^2+（3b）^2】【1^2+（1/3）^2】>=（a+b）^2於是a^2+9*b^2>=2/5
當且僅當a/1=3b/（1/3），即a=9b時取等。
2樓：叫你的狗子
可以這麼想，如果你把任意得到的一對a，b的a^2+9b^2和a+3b的值畫出來，它們就是乙個在上面乙個在下面且有一段相等重合在了一起，但是重合的那一段並不一定是最大的
3樓：jacobian
不知道題主知不知到holder不等式既
0 ,b_i >0" eeimg="1"/>為了使用 這個條件，配湊使用不等式記
那麼馬上就有
簡單變形一下就有
那等號什麼時候成立？ 那麼顯然
4樓：智商稅
給個使用均值不等式硬湊的方法。使用的是「算術平均不大於方均根」。
至於說，為什麼要把 拆成九個？那是因為，等號取於 。為什麼要讓 ？這是因為，把 代入 並配方之後得到的最小值取於 ，確有 。
↑上述段落是我自己已經用配方法得到答案以後的硬湊方法。此外，如果不用配方法，還可以這樣考慮：觀察已知量的結構和待求量的結構，這是乙個已知線性式，求平方和式的模型，如果一定要應用均值不等式，就必須使用「算術平均不大於方均根」。
怎麼從規定了係數的已知的 得到具有了目標的係數關係的 呢？通過大量訓練培養的數學直覺得到：
要拆的不是b，如果拆b，則會是 ，線性項 的係數不匹配，甚至比不拆的 還偏離；要拆的應該是a！總之就是線性項越拆，相應的平方項係數越小；平方項越拆，相應的線性項係數越大。
不等式題用均值不等式當然是能做的，但是均值不等式極其依賴等號選取的條件。為此生造係數並把項拆開，總可以放縮到不同的結果，十分自由。
5樓：
有點離題
為什麼不能用均值不等式其他答主已經說過了，說點不一樣的東西其實還可以用權方和不等式，關於其證明可以看這個問題，裡面有很多證法如何用高中知識證明權方和不等式？
有 成立
6樓：Bill Gets
ab不是定值，咋個敢用均值不等式的啊？均值不等式本身是對的，但不代表取等的時候就一定能取最小值啊。
考慮一下這種情況:a+9b和6ab雖然在a=3b時取等，但是否存在a,b的另兩種取值a',b'，使得a+9b＞a'+9b'＞6a'b'呢？
7樓：
很簡單，假設 ，
你只是證明了 ，但是沒有證明等號成立時， 同時取到了最小值
因此可以存在別的值使得等號不成立，但是 取的了更小的值
8樓：Jameson
先不考慮「a＋b=定值」這個條件，下面式子用均值不等式沒問題，因為兩個相加的元素都＞0，且兩個之間沒有關聯，相當於二元二次函式，但此時只能得到不管a，b取何值都有：下面式子≥6ab，在a=3b時與6ab相等，但得不到這個式子取最小值的a，b的具體值，因為沒有「積定」。
而如果題目加了a+b=定值這個限制，就降維成一元二次函式了，此時如果將這個條件套在a=3b上聯立解出a，b，6ab的值不一定能取到最小，因此最小值不一定就是這個求出來的值，所以此時只能用配方法
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