1樓：雨雪晴
設f:[0,1]---->[0,1]^2是皮亞諾曲線(填滿方形的連續曲線)，對任意x\in[0,1],令A_x=f^(×[0,1])，即為所求。
再來。先用類似於康托三分集的方法，只不過每次挖去的中間的那個區間都是閉區間。挖去的閉區間總共是可數個，每個當然都是完全集。
剩下的區間是康托集的乙個子集，就是三進製展開後只用到0，2，但0和2都取無窮多次的那些數的集合。這個集合同胚於可數無窮個自然數空間(離散拓撲)的乘積（乘積拓撲）。這樣就好辦了。
自然數寫成A_1=, A_2=,…,A_n=…的並（就是每兩個數歸為一組）。這個時候，整個可數無窮個自然數空間的乘積就可以寫成所有形如A_×A_×…×A_×…的並，每乙個都是同胚於康托集，是緊的無孤立點的集合，因為在同胚於到原來的[0,1]裡的子集時也是緊的無孤立點，從而是完全集。每個分量都是可數無窮個選擇，所以總共有c那麼多個這種集合。
再算上開始的那可數個中間的閉區間，就把[0,1]寫成了c個完全集的並。
注：以下的方法有漏洞。
換一種簡單的方法：
對任意的乙個0-1序列 _^" eeimg="1"/>，記 。
如果 _^" eeimg="1"/>滿足存在無窮多個 ,使 也存在無窮多個 ,使
則直接令
對於充分大後都為0或都為1的0-1序列，將 與 視為一對」戀人」，如果 與 為一對戀人，那麼令 }=A_}\cup A_}" eeimg="1"/>
不難證明： 到 的對映 )=\sum_^\frac" eeimg="1"/>為連續對映，並且由熟知的二進位制展開的結論，當且僅當 與 是一對戀人。而 是緊的，所以這個對映也為閉對映。
由於 中那些固定偶數字的集合是完全集，於是可以得到每個 都是完全集， 當 與 是一對戀人時，}" eeimg="1"/>也是完全集。
時， 必有 與 是一對戀人。
這樣： }|\textbf,\textbf是一對戀人\}" eeimg="1"/>
就是所求的含 個完全集的集族，他們的並是
2樓：青眼
可以從以下三個任務思考：
將 （或者任意閉區間 ，因為完全集經過線性變換仍是完全集）直接表為 個完全集的無交並；
將 （或任意有界左閉右開區間 ）表為 個完全集的無交並，再補充上 即得題解；
將 （或任意有界開區間 ）表為 個完全集的無交並，然後補充上 與 即得題解。
我的解法實際上完成了任務2。
任意取定和為1的正項級數：
，這裡不妨取
， ；同時，為使後續表達嚴謹，補充定義 。
對於任意閉區間 ，記 ，定義操作「s-分割」如下：
從區間左端起首尾相銜地依次劃分出長度為 的子閉區間，
並且賦予其相應正整數標號，即標號為 的子閉區間為
， ；注意這一族子閉區間是覆蓋 的，但不屬於其中任一子閉區間。
現給出如下定義：
對於任意正整數 ，定義，，
，，對於任意 元 正整數組 ，定義，，
，；對於任意正整數列 ，定義 ；
有如下事實：
是 個長度不大於 且互不相交的閉區間之並；
利用數學歸納法不難證明這一點，此處不贅述。
形象地，構造 的過程可用 層完全二叉樹描述：
第0層的根節點對應閉區間 ；
設第 層 某節點 對應的閉區間 ，
分別對 和 進行s-分割，
那麼 的兩個子節點就分別對應兩個s-分割產生的標號為 的子閉區間；
於是第 層節點對應的閉區間之並就是 ，
即 是這種二叉樹的「生長」過程。
記 ，易推知
（特別地， ），
且對於 ，有 （特別地， ）。
是完全集；
一方面， 是閉集的交，因此是閉集。
另一方面，設 ， 是任意正數；
下面證明存在 ， 滿足 ：
取正整數 滿足 ，由 知
有唯一 滿足 ， ；又 ，於是
恰有 ， ， 滿足 或
（ 與 就是對 二等分且分別s-分割後左右兩個標號為 的子閉區間），
不失一般性，設 ，則 ；
記 ， ，
令 ， ， ，
用數學歸納法易證 是閉區間套，於是有唯一 ，
而 ， ，
對比 和 得
即 ；顯然 ， ，
因此 無孤立點，從而是完全集。
類似地， 的構造過程可通過一棵深度無限的完全二叉樹描述，樹中每個節點對應乙個閉區間，且對於每條從根節點向下無限延伸的路徑，其依次經過的節點各自所對應的閉區間構成乙個閉區間套，而這些閉區間套各自所唯一確定的實數構成了 。
覆蓋 ；
設 ：由 知存在唯一正整數 滿足 ，
再由 知存在唯一正整數 滿足 ，
又由 知存在唯一正整數 滿足 ，......
如此類推，得到唯一正整數列 滿足： ；
於是 ，從而 。
中不同元素互不相交；
設 和 是不同的正整數列：
記 是滿足 的最小正整數，不妨記 ，
（ 的退化情形下文不再特別寫出），於是由 知，，
而 ，故 。
的勢是 ；
這是因為全體正整數列構成之集合的勢是 。
至此，任務2完成。
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