1樓：Scrjabin
我所學的數學不多，就最近剛學的一些內容舉幾個栗子談談我的理解吧。
我覺得要qualify「關鍵性的」、「本質的」，需要滿足下列至少乙個條件：
在證明乙個很關鍵很核心的定理的過程中起很大的作用；甚至可以說有了這個lemma，定理就顯而易見了
本身的證明過程比較有技巧性，或者所提供的技巧有啟發性
滿足條件1的，比如Fatou引理。Fatou引理的證明過程蠻有意思的，而且我覺得不算很trivial（其實trivial與否取決於見識，這種見的多了自然也就覺得trivial了）。先要證對一串收斂於 的非負可積函式列 有
（證明方法是建構函式列後再夾逼，其中建構函式列的方法很有意思)
然後自然推廣到不收斂的 和 結論，也就是常用的Fatou引理。
有了Fatou引理的話，實分析最核心的定理之一的Lebesgue控制收斂定理就基本一步可得了，不需要任何其他的技巧。
滿足條件2的，比如Urysohn引理。我個人認為Urysohn引理的證明過程還是蠻有技巧性的（again，見識比較多的大佬勿噴），蘊含了「用歸納法構造刻畫連續性的集合」的重要思想。
Urysohn引理的大致思路 (from Jnich Topology)
作為Urysohn引理的乙個應用，Tietze Extension Theorem的得到不僅用了Urysohn引理的結論，其證明思想也是「用歸納法構造刻畫連續性的函式」。
由此，稱Fatou引理和Urysohn引理為「關鍵性的」或「本質的」並不為過。
Folland書上的證明用了4個引理
就醬~話說題主好強啊，見識比我多多了，不也來談談你對這個問題的理解嗎？
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