1樓：蘇劍林
這個問題理論解也不難。
首先，我們假設兩個半徑為1的圓，其中乙個圓的圓心為原點，另乙個圓的圓心為 ，那麼它們相交部分的面積是 ，其中 。這其實就是求弓形的面積的兩倍，並不難，這裡不詳細證明。
這就意味著，對於圓心為原點的單位圓，圓內的固定點為 ，那麼圓內任意一點到該固定點的距離小於1的概率為 。
最後我們只需要對 在圓內取平均，就可以得到最終的概率了：
算這個積分只需要換到極座標下就行了，最終結果是
跟數值模擬的結果一致：
import numpy as np
# 構造一批圓內的均勻點
p = np.random.rand(1000000, 2)
p = p * 2 - 1
p = p[p[:, 0]**2 + p[:, 1]**2 <= 1]
# 重新打亂這批點
idxs = range(len(p))
np.random.shuffle(idxs)
p_ = p[idxs]
# 求距離小於1的概率
pd = p - p_
print(1. * sum(pd[:, 0]**2 + pd[:, 1]**2 <= 1) / len(p)) # 結果約為0.586
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